高等数学-第8章 - (平面及其方程)ppt课件

高等数学,课程相关,教材及相关辅导用书高等数学第一版，肖筱南主编,林建华等编著,北京大学出版社2010.8.高等数学精品课程下册第一版，林建华等编著,厦门大学出版社,2006.7.高等数学第七版,同济大学数学教研室主编，高等教育出版社,2014.7.高等数学学习辅导与习题选解（同济第七版上下合订本）同济大学应用数学系编高等教育出版社,2014.8.,第八章空间解析几何与向量代数8.1向量代数8.2数量积向量积混合积8.3空间曲面及其方程8.4空间曲线及其方程8.5平面及其方程8.6空间直线及其方程8.7综合例题,回顾：,向量的数量积,向量的向量积,向量的混合积,（结果是一个数量）,（结果是一个向量）,（结果是一个数量）,（注意共线、共面的条件）,数量积、向量积、混合积,8.3空间曲面及其方程,一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面四、锥面五、二次曲面,水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,曲面的实例：,旋转曲面：,一平面曲线C绕同一平面上的定直线L旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。曲线C称为旋转曲面的母线，直线L称为旋转曲面的轴。,方程,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,从柱面方程看柱面的特征：,（其他类推）,实例,椭圆柱面/轴,双曲柱面/轴,抛物柱面/轴,【结论】柱面的方程是x，y，z的二元方程，且与其准线方程相同.,空间曲线的一般方程,曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.,空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,特点：,8.4、空间曲线及其方程,空间曲线的参数方程,二、空间曲线的参数方程,消去变量z后得：,曲线关于的投影柱面,设空间曲线的一般方程：,以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.,投影柱面的特征：,三、空间曲线在坐标面上的投影,类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影,面上的投影曲线,面上的投影曲线,空间曲线在面上的投影曲线,第五节,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,平面及其方程,第八章,四、点到平面的距离,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,例1.求过三点,即,解:取该平面的法向量为,的平面的方程.,利用点法式得平面的方程,此平面的三点式方程也可写成,一般情况:,过三点,的平面方程为,说明:,练习：,特别,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的截距式方程.,时,平面方程为,分析:利用三点式,按第一行展开得,即,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减,得平面的点法式方程,此方程称为平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是,法向量为,方程.,特殊情形,当D=0时,Ax+By+Cz=0表示,通过原点的平面;,当A=0时,By+Cz+D=0的法向量,平面平行于x轴;,Ax+Cz+D=0表示,Ax+By+D=0表示,Cz+D=0表示,Ax+D=0表示,By+D=0表示,平行于y轴的平面;,平行于z轴的平面;,平行于xoy面的平面;,平行于yoz面的平面；,平行于zox面的平面.,例2.求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.,解:,因平面通过x轴,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,例,当平面不与任何坐标面平行，且不过原点时，才有截距式方程。,三、两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,则两平面夹角的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,特别有下列结论：,因此有,例4.一平面通过两点,垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.,解:设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C,得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,外一点,求,例5.设,解:平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离d.,则P0到平面的距离为,(点到平面的距离公式),内容小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,三点式,2.平面与平面之间的关