《偏导数和全微分》PPT课件

对一元函数：,导数,对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题，,6-4偏导数与全微分,1.一阶偏导数(偏微商)的定义,或,或,偏导数，记为,或,求偏导方法：只需将其它变量视为常数，按一元函数求导则可.,例1,解,例2设,解,例3,解法1,解法2,(先代后求),(先求后代),例4设,解,例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.,偏导数定义为,(请自己写出),例5,解,二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点M0处的切线,对x轴的斜率.,在点M0处的切线,斜率.,是曲线,对y轴的,函数在某点各偏导数都存在,显然,例如,注意：,但在该点不一定连续.,在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!,偏导数的几何意义说明了:二元函数的偏导数存在,只是表明函数沿x和y轴方向是连续的,而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续,故由偏导数存在不能推出函数连续.,2.高阶偏导数,设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z=f(x,y),的二阶偏导数.,按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导,数:,例6设，求二阶偏导数.,解,注意:此处,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为,z=f(x,y)关于x的n1阶偏导数,再关于y的一阶,偏导数为,例7证明满足平面拉普拉斯方程.,证,利用对称性,有,一个含有未知函数的偏导数的方程式称作偏微分方程，显然，上述拉普拉斯方程是一个偏微分方程.,例8证明函数,满足拉普拉斯,证,利用对称性,有,方程,拉普拉斯算子,内容小结,1.偏导数的概念及有关结论,定义;记号;几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2.偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序),应用,一元函数y=f(x)的微分,近似计算,估计误差,3.全微分,设二元函数为,全增量：称为函数在点处的全增量.,所以有,可用与的线性函数近似代替.,定义,为函数在处的全微分,记为：,设在点的某个邻域内有定义,其中只与点有关而与自变量的改变量无关,则称在处可微，并称,-全增量的线性主要部分,当在区域内每一点都可微时,称函数在可微.,若的全增量,对于一般的二元函数，我们也希望能用的一个线性函数来近似代替,为此，引进全微分的概念.,(2)偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:,(1)函数可微,函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,由微分定义:,得,函数在该点连续,偏导数存在,函数可微,即,定理2,若在处可微,定理3,若在处可微,则它在处的两个偏导数存在,且,证由全增量公式,若在区域D内可微,则在D内任一点的全微分可写成,或写成,定理3告诉我们偏导数存在是二元函数全微分存在的必要条件，但不是充分条件.,例函数,易知,它在(0,0)点的偏导数存在,注意:定理1的逆定理不成立.,偏导数存在函数不一定可微!,即:,但它在(0,0)点并不连续.,另一方面，连续是可微的必,要条件.,由此可见，这个函数在(0,0)点不可微.,定理4(可微的充分条件),证考察函数的全增量,(应用拉格日中值定理),故有,代入到（*）式得,事实上,由夹逼定理得,因此,推论,若是中的一个区域,而,也即在区域中有连续的一阶偏导数,则在内可微.,初等函数在其定义域内是连续的,所以对于初等函数,只要偏导数存在就一定可微.,例9,解,内容小结,1.微分定义:,2.重要关系