同济大学高等数学第七版1.2_数列的极限.ppt

,第一章,一、数列极限的定义,第二节,数列的极限,二、收敛数列的性质,如果按照某一法则，对每个,，对应着一个,确定的实数,，这些实数,按照下标n从小到大排列,得到的一个序列,就叫做数列，简记为数列.,数列中的每一个数叫做数列的项，第n项叫做数列的一般项或通项。,1、数列,定义,一、数列极限的定义,例如,注意：(1).数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,(2).数列是整标函数,(1)有界性,数列xn有上界,即存在M,使xnM(n=1,2,).,数列xn有下界,即存在m,使xnm(n=1,2,).,2.数列的性质,有界,有界,有界,无界,有界,判断下列数列,单调增加,单调减少,单调数列,(2)单调性,单调增加,单调减少,判断下列数列的单调性,单调增加,无单调性,无单调性,L,L,数列(2)从原点的两侧无限地接近于0,3.数列极限的定义,当n无限增大时,如果数列xn的一般项xn无限接近于一个确定的常数a,则常数a称为数列xn的极限,或称数列xn收敛于a,记为,或,如果数列没有极限，就说数列是发散的,例如,趋势不定,收敛,发散,问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过观察:当n无限增大时,无限接近于1.,引例,观察数列,时的变化趋势.,100,1,给定,100,1,1,N,目的：,NO,有些点在条形域外面！,数列极限的演示,N,数列极限的演示,e越来越小，N越来越大！,例1.已知,证明数列,的极限为1.,证:,欲使,即,只要,因此,取,则当,时,就有,故,N与有关,但不唯一.,不一定取最小的N.,注：,例2.已知,证明,证:,欲使,只要,即,取,则当,时,就有,故,故也可取,也可由,N与有关,但不唯一.,不一定取最小的N.,说明:,取,机动目录上页下页返回结束,例3.设,证明等比数列,证:,欲使,只要,即,亦即,因此,取,则当nN时,就有,故,的极限为0.,机动目录上页下页返回结束,练习1用定义证明,证明对于任意给定的要使,只要,取自然数,则当时，有,所以,注：,就会暂时确定下来,一旦给定,以此来确定相应的N.,二、收敛数列的性质,证:用反证法.,及,且,取,因,故存在N1,从而,同理,因,故存在N2,使当nN2时,有,1.收敛数列的极限唯一.,使当nN1时,假设,从而,矛盾.,因此收敛数列的极限必唯一.,则当nN时,故假设不真!,满足的不等式,机动目录上页下页返回结束,2.收敛数列一定有界.,证:设,取,则,当,时,从而有,取,则有,由此证明收敛数列必有界.,有,机动目录上页下页返回结束,收敛的数列必有界.有界的数列不一定收敛.无界的数列必发散.发散的数列不一定无界.,3.收敛数列的保号性.,若,且,时,有,证:,对a0,取,推论:,若数列从某项起,(用反证法证明),机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.数列极限的“N”定义及应用,2.收敛数列的性质:,唯一性;有界性;保号性;,任一子数列收敛于同一极限,机动目录上页下页返回结束,刘徽(约225295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重,差对九章算术中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献.,他的“割圆术”求圆周率,