mathematics第9讲.ppt

软件介绍,第9讲迭代分形,在我们生活着的大干世界里，除了有像房屋建筑、公路桥梁、汽车、飞机、轮船以及各种劳动生活工具等这些人造的形态规则的几何形体之外，更广泛地充满了诸如花草树木、山川河流、烟雾云彩等形态极不规则的几何形体。,大自然在向人们展示其美丽多变形态的同时，也提出了难以回答的询问：如何描述复杂的自然表象?如何分析其内在的机理?科学家与艺术家一直在苦苦追寻着这些问题的答案，并力图从传统的欧几里德几何体系中解放出来。,最近几十年，一些科学家开始朦胧地“感觉”到了另一个几何世界的存在，这个几何世界的描述对象是自然界的几何形态。20世纪70年代，美国科学家B.Mandelbrot用Fractal(原意是碎片、分数等)这个词来定义这门新的几何学科分形几何学。分形几何把自然形态看作是具有无限嵌套层次的精细结构，并且在不同尺度下保持某种相似的属性，于是在简单的迭代过程中就可以得到描述复杂的自然形态的有效方法。,尽管分形的提出只有二十多年的时间，但它已经在自然科学的诸多领域如数学、物理、化学、材料科学、生命科学、地质、地理、天文、计算机乃至经济、社会、艺术等极其广泛的领域有着重大的应用.可以毫不夸张地说，“分形是大自然的几何学”，“分形处处可见”。本讲的目的是以迭代的观点介绍分形的基本特性以及生成分形图形的基本方法，使读者在欣赏美丽的分形图案的同时对分形几何这门学科有一个直观的了解，并从哲理的高度理解这门学科诞生的必然，激发读者探寻科学真理的兴趣。,9.1生成元早在19世纪末及20世纪初，一些数学家就构造出一些边界形状极不光滑的图形。由于这类图形长期以来被视为“不可名状的”或“病态的”，因而，只有当人们需要反例时才想到它们。这类图形的构造方式都有一个共同的特点，即最终图形F都是按照一定的规则R通过对初始图形F0不断修改得到的。其中最具有代表性的图形是Koch曲线。,1.Koch曲线Koch曲线的构造方式是：给定一条直线段F0，将该直线三等分，并将中间的一段用以该线段为边的等边三角形的另外两条边替代，得到图形F1然后，再对图形F1中的每一小段都按上述方式修改，以至无穷。则最后得到的极限曲线FlimFk即是所谓的Koch曲线.,1.Koch曲线,Koch曲线的代码如下：kochsnowptlist:=Moduletmp=,i,pnum=Lengthptlist,Fori=1,iSqrt3/6;,Koch曲线的修改规则R是将每一条直线段F0用一条折线F1替代，我们称F1为该分形的生成元。分形的基本特性完全由生成元决定.因此，给定一个生成元，我们就可以生成各种各样的分形图形.以下是几个经典的分形图形及其生成元：,2.Minkowski“香肠”,minkowskiptlist_List:=Moduletmp=,tmp1,i,pnum=Lengthptlist,Fori=1,i1/GoldenRatio;,修改生成元：,minkowskiptlist_List:=Moduletmp=,tmp1,i,pnum=Lengthptlist,Fori=1,i1/GoldenRatio;,3.Sierpinski三角形,redosierpinskiptlist_List:=Moduletmp=,i,pnum=Lengthptlist/3,Fori=0,ipnum,i=i+1,tmp=Jointmp,ptlist3i+1,(ptlist3i+1+ptlist3i+2)/2,(ptlist3i+1+ptlist3i+3)/2,(ptlist3i+1+ptlist3i+2)/2,ptlist3i+2,(ptlist3i+2+ptlist3i+3)/2,(ptlist3i+1+ptlist3i+3)/2,(ptlist3i+2+ptlist3i+3)/2,ptlist3i+3;tmp;,showsierpinskiptlist_List:=Moduletmp=,i,pnum=Lengthptlist/3,Fori=0,ipnum,i=i+1,AppendTotmp,Polygonptlist3*i+1,ptlist3*i+2,ptlist3*i+3;ShowGraphicstmppo1=-1,0,1,0,0,Sqrt3;showsierpinskiNestredosierpinski,po1,4,4.草木花草,redotreeptlist_List:=Moduletmp=,i,ptnum=Lengthptlist/2,midpt1,midpt2,leftpt,rightpt,Fori=0,i1,1120,Mesh-False,对不同的参数(p，q)：(0,1)，(-1,0)，(0.11，0.66)，(-0.10281，0.95723)，(-1.25，-0.01)观察Julia集的变化.取Julia集的不同局部放大，你能看到某种自相似现象吗?,2.Mandelbrot集的绘制方法(1)设定一个最大的迭代次数N，图形的分辨率的大小a，b和使用的颜色数K(如K=16)。(2)设定一个上界值M2(3)将矩形区域R=(x，y)|-Mp，qM分成ab的网格，分别以每个网格点(fi，gj)，i0，1，a，j=0，1，b作为参数值(p，q)利用riter做迭代(实际上，只需对满足p2+q24的初始点迭代)，每次迭代的初值均取为(x0，y0)(0，0)。,2.Mandelbrot集的绘制方法如果对所有nN，则将图形的(i，j)点用黑色显示。如果从迭代的某一步n0开始有，则用第n0modK种颜色显示相应像素(或者用相应的灰度级显示).,iterx_,y_,lim_:=Blockc,z,ct,c=x+I*y;z=c;ct=0;Module(Absz120,Mesh-False;mandelbrot2=Showmandelbrot1,GraphicsLine-0.9,-0.25,-0.7,-0.25,-0.7,-0.05,-0.9,-0.05,-0.9,-0.25;mandelbrot3=DensityPlotiterx,y,50,x,-0.9,-0.7,y,-0.25,-0.05,PlotPoints-120,Mesh-False,绘制Mandelbrot集。然后，任意选取它的一个局部将其放大，然后再将放大图形的不同局部放大.由此观察Mandelbrot集与Julia集有何关系.进一步，取参数位于Mandelbrot集的不同部位(如内部、外部、边界、某个孢芽的内部等)，观察相应的Julia集的形状的变化.,9.3IFS(迭代函数系统)迭代让我们以下面一个简单的绘图游戏来说明IFS迭代.在平面上任取不共线的三点A，B和C，并确定三个相应的概率pA0.50，pB0.47，pC0.03。任取一个点Z0，按下述步骤在平面上画出新的点列Zn，n=1，2，,9.3IFS(迭代函数系统)迭代三个相应的概率pA0.50，pB0.47，pC0.03。任取一个点Z0，按下述步骤在平面上画出新的点列Zn，n=1，2，Zn+1以概率pA选定为A与Zn的中点，以概率pB选定为B与Zn的中点，以概率pC选定为C与Zn的中点.即,如果我们按上述步骤迭代下去，最终得到的图形会是什么样子呢?如果迭代仅仅只有一千次或一万次，你将会看到乱七八糟的一片.因此，有人把这个游戏称为“混沌游戏”.,但当迭代次数在一百万次以上时，图形将渐渐开始清晰.可以看出，它正是我们前面提到的Sierpinski三角形的逼近图形!,利用IFS迭代可以生成许多有趣的分形图形，而且可以应用于分形图像的压缩.下面，我们给出IFS迭代绘制分形的方法.p1=1/3;aaa=1/2+I1/N;f1z_:=(z+aaa)/2;p2=1/3;bbb=0/N;f2z_:=(z+bbb)/2;p3=1/3;ccc=1/N;f3z_:=(z+ccc)/2;fz_:=Moduletmp,tmp=Random;Whichtmp=1,j-,mui,j=0;Fori=nmax,i=1,i-,temp1=Floordivi1*(Rez-shrange11)/(shrange21-shrange11)+1;temp2=Floordivi2*(Imz-shrange12)/(shrange22-shrange12)+1;mutemp1,temp2+;z=fz;Fori=a,i=1,i-,Forj=b,j=1,j-,mumax=Maxmumax,mui,j;mu1=TableGrayLevel1-Nmuj,i/mumax,i,a,j,b;ShowGraphicsRasterArraymu1IFSshow0+I0,-0.1,-0.1,1.1,1.1,150,150,100000;,康托树,p1=1/3;aaa=1/2+I1/N;f1z_:=(z+2*aaa)/3;p2=1/3;bbb=0/N;f2z_:=(z+2*bbb)/3;p3=1/3;ccc=1/N;f3z_:=(z+2*ccc)/3;fz_:=Moduletmp,tmp=Random;Whichtmp=1,j-,mui,j=0;Fori=nmax,i=1,i-,temp1=Floordivi1*(Rez-shrange11)/(shrange21-shrange11)+1;temp2=Floordivi2*(Imz-shrange12)/(s