样本空间与事件

第三章機率與統計(I)31樣本空間與事件1.(1)丟一個硬幣並觀察其丟出結果是正面或反面，請寫出其樣本空間。(2)若只觀察硬幣是否出現正面，請以集合表示此事件。【(1)U= (2)A=】2.丟一個硬幣兩次，若只考慮出現正反面的情形，請寫出其樣本空間與基本事件。【U=；，】3.丟一個硬幣兩次，只觀察此兩次出現正反面的次序，請寫出其樣本空間與所有事件。【U=；共有16個事件】4.如果一袋子內有紅球3個，黑球2個，從袋內任意取出一球觀察其顏色，試寫出其樣本空間，拿到紅球與黑球的機會是否相同？ 【U=；否】5.(1)擲一個骰子兩次，觀察每次出現的點數，寫出其樣本空間。(2)同時擲兩個不同骰子，觀察每次出現的點數，寫出其樣本空間。(3)同時擲兩個相同骰子，觀察每次出現的點數，寫出其樣本空間。【(1)36種 (2)36種 (3)21種】6.擲一個骰子，寫出(1)樣本空間U(2)出現點數為偶數的事件A(3)出現點數為奇數的事件B(4)出現點數大於3的事件C。【(1)U= (2)A= (3)B= (4)C=】7.擲甲、乙兩個骰子，觀察每個骰子出現的點數，令A為出現點數和為3的事件，B為出現點數和為5的事件，請問A、B兩事件是否互斥？ 【是】8.丟一個硬幣3次，只觀察此3次出現正、反面的次序，請寫出(1)沒有出現正面的事件A。(2)出現一個正面的事件B。(3)出現二個正面的事件C。(4)出現三個正面的事件D。(5)事件A、B、C、D是否兩兩互斥。【(1) (2) (3) (4) (5)是】9.若一袋中有3紅球，2黑球，1白球，從袋中任取一球，觀察其顏色，請寫出(1)此實驗的樣本空間。(2)抽出紅球的事件。(3)令A表抽出紅球的事件，B表抽出黑球的事件，請問A、B兩事件是否互斥？【(1) (2) (3)是】10.設一試驗的樣本空間為S=，事件A、B、C分別如下：A：數值為3的倍數。B：數值大於5。C：數值小於10。求下列各事件：(1)(2)(3)(4)【(1) (2) (3) (4)】11.擲兩個骰子，考慮點數和，樣本空間為S(1)試以集合表示S。(2)設事件A、B分別如下：A：兩粒點數不同。B：兩粒點數不同。試以集合表示A、B。【(1) (2)A=、B=】12.擲一粒骰子，直到出現偶數點為止，考慮所擲的次數，設樣本空間為S(1)試寫出S。(2)令A，B分別表示：A：次數不超過五次，B：次數大於五次。分別以集合表示A，B事件，並判斷A，B是否相斥。【(1)S= (2)A=、B=；A，B互斥】13.設一袋中有大小相同的黑球3個，白球2個與紅1個，今自袋中取出兩球。若以A表示至少有一白球的事件，B表示至少有一紅球的事件，求A與B的和事件與積事件。【；】14.連續擲一粒骰子三次，令A表示三次出現點數和為9的事件，B表示三次出現點數的積為12的事件，試求A與B的積事件。【】15.擲一粒骰子，令A=、B=、C=為三事件，請寫出(1)A和C的和事件(2)A與B的餘事件(3)和A的積事件(4)判斷A，C是否相斥？ 【(1) (2)=、= (3) (4)是】3-2機率的性質1.擲一粒骰子，觀察出現的點數，求下列各事件：(1)出現點數是2的機率是多少？(2)出現點數是1或3的機率是多少？(3)出現點數是偶數的機率是多少？(4)出現點數不是偶數的機率是多少？(5)出現點數不是6的機率是多少？(6)出現點數少於5的機率是多少？【(1) (2) (3) (4) (5) (6)】2.擲兩粒骰子，觀察每個骰子出現的點數，問(1)兩個骰子出現相同點數的機率是多少？(2)兩個骰子出現點數和為4的機率是多少？ 【(1) (2)】3.小華在衣櫃中放了一雙紅色襪子與一雙黑色襪子。某天黑夜小華想外出，隨便從衣櫃中拿了兩隻襪子，請問他剛好拿到成雙的機率是多少？ 【】4.從8個正數、五個負數中任取3個數相乘，請問相乘結果是正數的機率是多少？【】5.在一籠裡有6隻白兔及5隻灰兔，我們要讓兩隻出籠；假設每一隻跑出籠的機率相同。試問出籠的一隻是白兔而另一隻是灰兔的機率為何？【】6.袋中有紅球3個、藍球2個，由袋中取球觀察其顏色：(1)取一球，取出是紅球的機率是多少？(2)取一球後放回，再取一球，試問兩球都是紅球的機率是多少？(3)取一球後不放回，再取一球，試問兩球都是紅球的機率是多少？(4)同時取兩球，試問兩球都是紅球的機率是多少？【(1) (2) (3) (4)】7.假設5隊夫婦圍著圓桌隨機而坐，試問所有5隊夫婦都相鄰而坐的機率是多少？【】8.若P(A)=、P(B)=、P(AB)=，求下列各機率值：(1)P(AB)(2)P()【(1) (2)】9.某生參加數學及英文兩科考試，其通過數學的機率是0.8，通過英文的機率是0.75，至少通過一科的機率是0.9，問兩科都通過的機率是多少？【0.65】10.袋中有編號1到10的整數號碼球共10個，阿杰從袋中取一球，觀察其號碼：(1)取到的球號是3的倍數的機率是多少？(2)取到的球號是5的倍數的機率是多少？(3)取到的球號是3的倍數也是5的倍數的機率是多少？(4)取到的球號是3的倍數或是5的倍數的機率是多少？(5)取到的球號是3的倍數，5的倍數或7的倍數的機率是多少？【(1) (2) (3)0 (4) (5)】11.袋中有編號1到30的整數號碼球共30個，阿杰從袋中取一球，觀察其號碼，請問取到的號碼是4的倍數或6的倍數的機率是多少？【】12.阿杰與人打賭，如果擲一粒骰子出現的點數是2或3，則阿杰贏，否則阿杰輸，請問阿杰贏的機率是多少？輸的機率是多少？【】13.袋中有編號1到100的整數號碼球共100個，現在從袋中取一球，觀察其號碼，請問取到的號碼是4的倍數、5的倍數或6的倍數的機率是多少？【0.46】14.在一袋中有8個大小相同的球，其中有5個白球，3個黑球，今自袋中隨機取出4個球，恰有2個白球的機率是多少？【】15.一婚禮的禮堂內有小孩20人，中年人50人，老年人30人參加婚禮，禮成後，一個接著一個隨機走出禮堂，試問第三位是小孩且第八位是老年人走出禮堂的機率是多少？【】16.在一抽獎的箱子中，有10支相同的籤，其中只有一支中獎，現有10人排隊依序隨機各抽一支籤，若甲排第一位，乙排第二位，求甲與乙中獎的機率是多少？【；】17.設某校高二學生有600人，其中有360人選修幾何學，有210人選修英文，且兩科都修的有150人，今從高二學生中任選一人，每人被選的機會相同，求選中的學生，幾何與英文都不修的機率是多少？恰選一科的機率是多少？【】18.設擲一特殊的骰子，各點數1,2,3,4,5,6出現的機率與該點數成比例，求1點與4點出現的機率，並求出現偶數點的事件的機率是多少？【】19.三個人每人提供一件禮物，以抽獎方式，每人抽得一件禮物，則沒有任何人抽到自己禮物的機率是多少？恰有一人抽到自己禮物的機率，【】20.三個人以剪刀、石頭、布猜拳(每人任意出拳)，猜一次沒有人勝的機率是多少？猜一次恰有一人得勝的機率是多少？【,】21.自一副撲克牌(52張)中，任取兩張，每張被取的機率相同：(1)求兩張是同點數的機率是多少？(2)求兩張是同花色的機率是多少？【】22.從一套跳棋(有紅、黃、藍棋子各15個)中，任取3個(1)求三個同色的機率是多少？(2)求三個都不同色的機率是多少？【】23.擲一公正骰子三次，求下列各事件發生的機率：(1)至少一次5點且至少一次6點。(2)至少一次5點或6點。【(1) (2)】24.一袋中有2個白球、3個紅球、4個黃球，從中一次取出3個球，求下列各事件發生的機率：(1)3球都同色。(2)至少一白球且至少一紅球且至少一黃球。(3)至少2個紅球。(4)至少一白球或至少一紅球。【(1) (2) (3) (4)】25.擲一公正骰子6次：(1)求恰好在第6次才出現6點的機率是多少？(2)求恰好在第6次出現第二次6點的機率是多少？【(1) (2)】26.袋中有n張卡片，其中有r張紅色，其餘的都是藍色，今從袋中一次取一張，取後不放回：(1)求第一次與第二次都抽到紅色的機率是多少？(2)求第一次不是紅色或第二次不是紅色的機率是多少？【(1) (2)】33數學期望值1.設袋中有4個紅球、2個白球，從中取出3球，若取得1紅球可得10元，取得2紅球可得20元，取得3紅球可得30元，求此實驗得款的期望值？【20元】2.一盒子裡有5元硬幣5個，10元硬幣3個，50元硬幣2個：(1)任取2個，求得款的期望值？(2)任取3個，求得款的期望值？【(1)31(2)46.5】3.已知一袋中有6個球，其中有4個編號為4，另外兩個編號為x，自袋中任取2球，計算2球的編號和，若編號和的期望值12，則x之值為何？【10】4.擲3粒公正骰子，計其點數和，若點數和為9的倍數可得100元，若點數和為8的倍數可得60元，否則需付20元，試求此實驗得款的期望值？【元】5.在一擲硬幣的遊戲中，玩這遊戲的人需先付10元，取得玩的權利，由這人擲4枚相同的硬幣，出現一個正面得5元，而出現一個反面得1元，求玩這遊戲的期望值？【2元】6.阿勇與人打賭，擲一個骰子：(1)若出現點數為2或3，則阿勇贏2元，否則阿勇輸1元。(2)若出現點數為1，則阿勇可得4元，若擲出點數為2或3，則阿勇可得2元，若擲出點數為4、5或6，則阿勇輸3元。請問這兩種遊戲阿勇的期望值各為多少？這兩種遊戲對阿勇是否公平？【(1)0元；公平 (2)；不公平】7.某次象棋比賽有15人參加，大會頒發獎金給前三名，冠軍可得10000元，亞軍可得5000元，季軍可得2000元，賽前評估小劉得冠軍的機率是，亞軍的機率是，季軍的機率是，請問：(1)小劉未得獎的機率是多少？(2)小劉得獎獎金的期望值是多少？【(1) (2)3700元】8.小游參加抽球遊戲，一袋中有紅球5個，白球3個，黑球2個，若抽中紅球可得10元，抽中白球可得20元，抽中黑球可得150元，但每抽一次小游需付50元，請問對小游是否有利？【不利】9.網球一盤比賽先勝6局贏，贏一盤可得獎金64000元，甲、乙兩人實力相當，但甲已連勝5局，請問如果因下雨不再繼續比賽，則甲、乙兩人應如何分配獎金才公平？【甲：63000元；乙：1000元】10.某地發行彩卷50萬張，其中1張獎金300萬元，2張各50萬元，50張各1萬元，請問每張彩卷獎金的期望值為何？【9元】11.發行每張1元的彩卷2000張，其中有2張獎金各500元，有8張獎金各100元，有10張獎金各10元，問購此彩卷是否有利？【否】12.某人擲一公正硬幣2次，若出現2個正面，可得4元；若出現1次正面，1次反面，可得1元；若出現2次反面，則輸5元，求其獎金的數學期望值為多少元？【0.25】13.某種彩卷號碼是6位數，各獎項之獎金與名額如下：獎項獎金名額特獎1頭獎5第二獎10第三獎5000050第四獎10000100第五獎5000200第六獎10001000第七獎5002000第八獎30010000設小游花了50元買一張彩卷，請問這張彩卷的期望值是多少錢？(由)【25.5元】14.根據經驗某人完成一件工作，可能是1天、2天、3天、4天，在1天完成的機會是0.2，2天完成的機會是0.4，3天完成的機會是0.3，4天完成的機會是0.1，請問完成此工作天數的期望值是多少？【2.3天】15.根據經驗，在萬芳醫院排班的計程車，載客人數1人的機率是60%、2人的機率是30%、3人的機率是5%、4人的機率是5%，請問在萬芳醫院一部計程車載客人數的期望值是多少？【1.55人】34統計抽樣1.班上有40個同學欲抽出5個人，求班上同學身高的平均值，試問有多少種不同的樣本被抽到？【】2.試以隨機號碼表模擬擲2個均勻的硬幣20次的試驗。35資料整理與統計圖表20 30 40 50 60 70 80 902925151053.30.1.右圖為30位學生數學成績的以下累積次數分配折線圖，則(1)不及格的有幾人？(2)70分以上的有幾人？(3)作其次數分配表。分數【(1)16人 (2)4人】2.右圖為某次數學成績的累積次數分配折線圖(採相同組距10且不含上限)，試問：(1)以60分為準，不及格的有幾人？(2)7080分者有幾人？40 50 60 70 80 90 10050453220136.分數【(1)18人 (2)7人】工資(元)人數506086070107080168090149010010100110511012023.試根據右表，求下列各值：(1)第6組之下限。(2)第4組之上限。(3)第3組之組中值。(4)第5組之組距。(5)第3組之次數。(6)工資少於80元之人數。(7)工資少於100元但至少60元之人數。【(1)100 (2)90 (3)75 (4)10 (5)16 (6)34人 (7)50人】4.某班段考數學成績之以下累積次數分配折線圖如右，試問：(1)不及格者有幾人？40 50 60 70 80 90 1005040302010.(50,5).(60,18).(70,30).(80,37).(90,44).(100,50)分數(2)至少70分者有幾人？【(1)18人 (2)20人】5.某班有學生50人，在一次平時測驗，照其坐號成績如下：67,80,33,79,89,56,71,77,60,7278,62,55,77,78,88,69,54,84,7376,88,65,77,55,68,79,91,59,7494,61,70,65,66,53,76,68,75,5072,85,86,44,92,78,96,53,76,82(1)全距為何？ 【63】(2)今將30100分成7組，組距為10分，試列出本班成績的次數分配表，並畫出直方圖。(3)試列出上表的以下累積次數分配表及繪出以下累積次數分配曲線圖。(4)試列出上表的以上累積次數分配表及繪出以上累積次數分配曲線圖。成績人數5060607070808090901006.某社團有團員40人，在一次團體活動能力測驗中，他們的成績如下：65,83,85,73,68,79,58,67,92,8673,50,75,60,86,65,65,85,95,7785,72,93,85,93,83,85,78,87,7260,86,86,65,87,88,75,90,84,78試完成右表的成績分配表。【2,8,10,15,5】7.某班段考數學成績如下：75,57,80,64,76,42,68,46,71,7145,65,80,81,78,38,67,48,53,5662,65,62,63,65,51,46,85,89,8455,72,72,75,66,83,85,45,55,5065,72,65,64,60,60,73,25,65,62試以20為第一組下限，10為組距，試作下列各圖表：(1)次數分配表。(2)次數分配直方圖。(3)次數分配折線圖。(4)相對次數分配折線圖。(5)以下累積次數分配表。(6)以下累積次數分配折線圖。(7)相對累積次數分配折線圖。成績(秒)人數12.013.01213.014.04814.015.07515.016.09616.017.04017.018.0298.萬芳高中二年級學生參加百公尺短跑測驗(以15秒為標準)，成績超過16秒的必須加強訓練，13秒以內的成績為優等，300位學生測驗成績如下：(1)得優等的學生占的比例是多少？(2)必須加強訓練的學生占的比例是多少？(3)跑1416秒間的學生占的比例是多少？(4)試畫出相對次數分配折線圖。(5)試畫出相對累積次數分配折線圖。【(1)4% (2)23% (3)57%】身高(cm)人數155.5158.51158.5161.53161.5164.53164.5167.59167.5170.58170.5173.53173.5176.519.右表是某高中儀隊28位女學生的身高分組及各組人數表：(1)試畫直方圖。(2)試畫次數分配折線圖。(3)試畫累積次數分配折線圖。10.下圖為某銀行500位客戶儲蓄存款資料之相對次數直方圖，試問：(1)至少存款2萬元以上的客戶所占的比例是多少？(2)此銀行客戶的平均存款約多少元？35(3)此銀行的存款總金額約多少元？30相對次數（）252015105存款金額(單位：千元)0 5 10 15 20 25 30【(1)35% (2)16.75千元 (3)8375千元】36平均數1.七位評審對陳老師唱歌的評分為5.8,5.6,5.8,5.7,5.6,5.9,5.8,試求其平均評分。【5.7429】2.萬芳高中二年四班12位同學各在罰球線上投籃10次，投中次數分別為科目成績每週上課時數國文806英文755數學905理化625歷史602地理612公民6023,2,3,7,5,3,6,4,1,3,6,8，求平均數=？【4.25】3.小勇上學期智育科成績及每週上課時數如右：(求到小數第一位)(1)如果總平均成績是以每週上課時數做加權，試問小勇的智育平均成績是多少？(2)如果不以上課時數做加權，而以等加權，則小勇的智育平均成績是多少？【(1)73.2分(2)69.7分】4.大眾公司去年推出4個方案，所得到利潤百分比分別為3,8,6,9，試問大眾公司這4個方案利潤百分比的幾何平均數是多少？【6】5.某公司自民國85年到民國89年這5年的營業額成長率分別為50%、15%、-5%、8%、12%，求此公司這5年的營業額每年成長率的幾何平均數是多少？【17%】6.某股票最近一週每天的漲幅分別為1%、5%、2%、6%、5%、3%，請問此股票這一週的漲幅的幾何平均數是多少？【1.26%】7.某地區過去6年的經濟成長率分別為13%、8%、5%、20%、10%、12%，求這6年的平均經濟成長率？【9.4%】8.某公司有5位職員，他們的月薪分別為35000,50000,40000,42000,60000(元)，求他們月薪的中位數？【42000元】9.萬芳高中二年四班12位同學各在罰球線上投籃10次，投中次數分別為3,2,3,7,5,3,6,4,1,3,6,8，求中位數與眾數？【3.5；3】10.老師要5位同學測量黑板長度，結果5位同學量出的數據如下(單位：公尺)：4.52,4.51,4.52,5.52,4.52試分別以平均數、中位數、眾數算出黑板長度的估計值。(1)以何者做為黑板長度的估計值較有意義，為什麼？【(1)4.718；4.52；4.52(2) 眾數4.52】11.某班某次考試成績如下：分數506060707080809090100次數61316118(1)試求算術平均數。(2)試求中位數。【(1)75.37 (2)75】12.已知有51個數值之平均為60，若把其中一數85剔除，求剩餘50個數值的平均數？【59.5】13.某班有50位同學，已知其中40位同學數學平均成績為70分，另10位同學數學的平均成績為65分，試求全班的數學平均成績？【69分】14.右表為甲、乙、丙三班學生的數學測驗成績，試求表中之x、y之值？ 班別甲乙丙全體人數48x50152平均分數y727071【x=54；y=70.9】15.萬芳高中三年級學生120人參加基本能力測驗，其成績分布如下：分數1020203030404050506060707080809090100人數151015233019143 求這次基本能力測驗120人的成績的中位數？ 【62】16.萬芳高中三年級學生參加基本能力測驗，其成績分布如下：分數1020203030404050506060707080809090100人數15916232821134(1)試求其算術平均數？(2)試求其中位數？【(1)61分 (2)約62.14分】37離差1.試求數值資料35,27,46,66,68,61,52,74,58,49,52,53,43,54,61,14,76,42的全距和四分位差。【62；18】2.試求數值資料45,79,58,21,28,11,90,84,67,63,19,81,27,33,21的全距和四分位差。【79；58】3.七位評審對蔡老師唱歌的評分為5.8,5.6,5.8,5.7,5.6,5.9,5.8,試求其全距與四分位差。【0.3；0.2】4.下列有一資料分配表，試求第一四分位數，第三四分位數及四分位差。分數1020203030404050506060707080809090100合計人數15916232821134120【49.38；73.80；24.42】5.蔡老師統計班上同學在某次模擬考後的成績，其結果如下(以上累積次數表)成績420440400420380400360380340360320340300320280300260280240260220240200220累積人數61522324757586468707172試求這次模擬考成績中的全距、中位數及四分位差。(求到小數第一位)【240；354.7；65.4】6.設有20位學生的數學成績經排序如下：43,50,51,52,54,55,56,57,58,59,59,60,60,61,61,61,61,62,62,62。求、與Q.D.【54.5；59；61；6.5】7.蔡老師統計班上同學在某次測驗成績，其結果如下：成績30404050506060707080809090100人數127101884試求其四分位差。【17.22】8.設樣本的數值x=4,3,6,2,5，試求此樣本的標準差。【1.58】9.試求2,3,3,4,6,6的算術平均數與標準差。【4；1.67】10.一組資料有20筆，其中有18個1、2個0，求此組資料的平均數是多少？標準差是多少？【0.9；0.3】11.萬芳高中籃球隊有10名隊員，其身高分別為：182,185,186,186,196,183,175,188,183,186(cm)，求此球隊隊員身高的變異數與標準差。【25；5.27】12.萬芳高中籃球隊有8名隊員，其體重分別為：67,58,62,75,70,82,64,66(Kg)，求此球隊隊員體重的：(1)平均數。(2)離差平方和。(3)變異數(4)標準差S。【(1)68 (2)406 (3)58 (4)7.6158】13.某班學生50人，數學競賽成績的算術平均數為76分，標準差為15分，今將這班學生分成兩組，第一組有40人，平均成績為80分，標準差為10分，另一組有10人，試求他們的算術平均數與標準差。【60；20.88】14.從12筆數值資料算得其算術平均數為63，標準差為24，隨後發現其中有10、15兩數不可靠，試求剩下10個數的算術平均數與標準差。【73.1；4.7】15.甲班有學生30人，乙班有學生20人，某次測驗結果，平均成績甲班70分，乙班60分。標準差甲班10分，乙班8分，如果將這兩班合併計算，試求其的算術平均數與標準差。【66分；10.4分】16.七位評審對蔡老師唱歌的評分為5.8,4.6,5.8,5.7,5.6,5.9,5.8,試求其(1)平均數(1)中位數(3)全距(4)標準差(5)四分位差。【(1)5.6