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文档简介

.,2.3微分方程经典求解法,.,n阶常系数微分方程的求解法thesolutionmethodforconstant-coefficientdifferenceequationofNth-order,全响应=齐次方程通解+非齐次方程特解（自由响应）（受迫响应）,全响应=零输入响应+零状态响应（解齐次方程）（卷积法）,时域分析法（经典法）,变换域法（第四章拉普拉斯变换法）,微分方程求解,.,n阶线性时不变系统的描述,一个线性系统，其激励信号与响应信号之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述,阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。,若系统为时不变的，则，均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。,.,一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应为时的方程的解，初始条件:,齐次解：由特征方程求出特征根写出齐次解形式,注意：重根情况处理方法（修改齐次解的形式）,特解：根据微分方程右端函数式（自由项）形式，设含待定系数的特解函数式，代入原方程，比较系数定出特解。,经典法,完全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解系数,线性时不变系统经典求解,.,齐次微分方程,特征方程,特征根,齐次解形式：（和特征根有关）,齐次解,线性时不变系统经典求解,.,特征根,齐次解的形式,对于每一个单根,k重实根,k重复根,线性时不变系统经典求解,给出一项,.,解：系统的特征方程为,特征根,因而对应的齐次解为,求微分方程,齐次解,解：系统的齐次方程为,例,.,自由项,响应函数r(t)的特解,或,当a是k重特征根时,当ajb不是特征根当ajb是特征根,线性时不变系统经典求解,.,如果已知：分别求两种情况下此方程的特解。,给定微分方程式,这里为待定系数，将此式代入方程得到,例：,（1），自由项为，选特解函数式为,.,等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有,联解得到,所以，特解为,.,于是，特解为,(2),求出的齐次解和特解相加即得方程得完全解,当将其代入方程的右端，可求得自由项为很明显，可选这里，B是待定系数。代入方程后有：,.,例：求微分方程的完全解,解:齐次方程为特征方程：特征根：该方程的齐次解为：,此处，自由项即为激励函数。其中中a=-1，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：,线性时不变系统经典求解,.,代入原微分方程得,求得,所以特解为,完全解为,代入初始条件,求得,所以有,线性时不变系统经典求解,或写为,.,完全解中的齐次解称为系统的自由响应,特解称为系统的强迫响应.特征方程根i(i=1,2,n)称为系统的“固有频率”(或“自由频率”),完全响应,自由响应,强迫响应,上例中完全解的分解如下:,.,经典法求解微分方程的流程,将元件电压电流关系、基尔霍夫定律用于给定电系统,列写微分方程,齐
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