拉普拉斯变换.ppt

第六章拉普拉斯变换,本章基本要求,理解和掌握导数和积分的拉普拉斯变换掌握有理分式反演法掌握延迟定理，位移定理和卷积定理理解黎曼-梅林反演公式；运算微积方法求解微积分方程。,6.1拉普拉斯变换的概念,一Laplace变换的定义,1傅里叶变换的限制：1）函数满足狄利克雷条件2）在（-，+）上满足绝对可积的条件3）在整个数轴上有定义,实际应用中，绝对可积的条件比较强，许多函数都不满足该条件，如正弦，余弦，阶跃，线性函数等；另外，在无线电技术中，函数往往以t作为自变量，t0无意义。,2拉普拉斯变换研究的对象函数,1）函数满足这样的条件:a)t0):,例4,同理,解：,从而,类推,6.2基本函数的拉普拉斯变换,一单位阶跃函数,二(t)函数,三函数tn（n-1)的拉氏变换,6.3Laplace变换的基本性质,Laplace变换F(s)的特性：（1）F(s)在Re(s)0的半平面代表一个解析函数。（2）当|Args|/2-(0)时：,且满足,0+i,0-i,s平面,o,解析区域,一线性定理：与Fourier变换一样。,例,注意：一、初始条件进入Lapace变换公式中，这一点在实际应用中非常重要。二、原函数对t的求导，变成像函数与p相乘。,二原函数导数定理:,原函数对t的积分变成像函数与s相除,三原函数积分定理:,四相似性定理五位移定理：六延迟定理：,七卷积定理:,八像函数微分性质,即：像函数求积分，相当于原函数除t的像函数。,九像函数积分定理,十关于参数的运算,对于含参数的函数f(t,)的拉氏变换来说，由于关于t的积分（即拉氏变换）与关于的运算顺序可以交换，所以,十一初值定理,十二终值定理,例1（P205例10.3.4）,例2（P206例10.3.5）,例3（补充例题）求解初始问题,例4（补充例题）求解初始问题,例5（补充题，利用原函数积分法求解积分方程）设C，R，E为正常数，求解积分方程（该方程来自电路理论）,6.3Laplace变换的反演,关于t的微分方程关于p的代数方程关于p的代数方程原微分方程的解,Laplace变换,Laplace变换的反演,一有理分式的反演,把有理分式分解,然后利用一些基本公式和Laplace变换的性质求原函数。,一般步骤：1）化简，使分子幂次低于分母；2）分母分解因式；3）利用待定系数法进行部分分式展开4）利用拉氏变换表求解,注：需要注意多阶极点和共轭极点的情况。,例1求的原函数（p208例10.4.1）,例2求的原函数（p208例10.4.2）,例3求的原函数,解,因此原函数为,通分后比较p的同次幂系数得：,二查表法反演,例4：求的原函数。,由表查得,解,又由延迟定理,例5求的原函数。解：由表查得由位移定理：因此原函数为,例6求的原函数（p210例10.4.5）,*三一般反演方法：黎曼-梅林反演公式在L右边，像函数解析，无奇点。故作围道(L+CR)在L的左边。设在L的左边只有有限个孤立奇点pk，由留数定理因在L的右边无奇点，所以可以说：pk是全平面上像函数的奇点。(如果像是多值函数，问题比较复杂),Fourier变换与Laplace变换的比较,1Fourier变换与逆变换比较对称，但Fourier变换对函数要求较严；数值计算比较成熟（FFT）;,2尽管Laplace逆变换是复变积分，因像函数是一个解析函数，可以利用复变函数理论的公式;无现成的数值计算程序；每个问题的极点分布不一样。,6.4拉普拉斯变换应用举例,一利用拉氏变换求积分,（1）如求的积分，先求的积分，然后令t=1。,例1（p215例10.5.2）,（2）若，则,例2（p216例10.5.3）,（3）若，则利用基本公式11和初值定理，得到,例2（p216例10.5.4）,二利用拉氏变换求解微分方程，积分方程,例1（p217例10.5.6）解方程,例2L-R串联电路有交流源E=E0sint,求电路中的电流。,解：电流方程：,两边作Laplace变换：,解得：,应用卷积定理,第一项：稳定振荡