一元二次方程根与系数的关系PPT课件.ppt

.,1,一元二次方程根与系数的关系,.,2,1.一元二次方程的一般形式是什么？,3.一元二次方程的解的情况怎样确定？,2.一元二次方程的求根公式是什么？,.,3,知识小竞赛,设x1、x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表,猜想：,根据所填写的表格，请你猜想出x1+x2，x1x2与方程的系数有什么关系吗？,.,4,如果一元二次方程的两个根分别是、，那么：,猜想：,.,5,证明你们的猜想,已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。,求证：,已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。,已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。,已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。,已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。,已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。,已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。,已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。,已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。,求证：,已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。,求证：,已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。,证明：,一元二次方程根与系数的关系(韦达定理）,推论1,一元二次方程根与系数的关系(韦达定理）,推论2,.,8,韦达（15401603）是法国数学家,最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。韦达最重要的贡献是对代数的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，著有分析方法入门、论方程的识别与订正等多部著作。,.,9,运用根与系数的关系解题,.,10,说一说：,说出下列各方程的两根之和与两根之积：,1、x2-2x-1=0,2、2x2-3x+=0,3、2x2-6x=0,4、3x2=4,x1+x2=2,x1x2=-1,x1+x2=,x1+x2=3,x1+x2=0,x1x2=,x1x2=0,x1x2=-,.,11,巩固训练:,1、口答下列方程两根的和与两根的积(不解方程）,（1）x2-3x+1=0（2）3x2-2x=2（3）2x2+3x=0（4）3x2=12、已知方程的两根之和与两根之积相等，那么m的值为（）A.1B.-1C.2D.-23、方程的两根和为4，积为-3，则a=，b=。,B,8,-3,.,12,例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程两个根的；（1）平方和；（2）倒数和,解：设方程的两个根是x1x2那么x1+x2=x1x2=,（1）（x1+x2）2=x12+2x1.x2+x22,x12+x22=（x1+x2）2-2x1.x2,(2),.,13,练习、已知3x2+2x-9=0的两根是x1,x2。求：,(1)(2)x12+x22,解：,由题意可知x1+x2=-,x1x2=-3,(1),=,=,=,(2)(x1x2)2x12+x222x1x2,x12+x22(x1x2)2-2x1x2,(-)2,-2(-3)6,.,14,例3：已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值.,解：设方程的两个根分别是、，其中。所以：即：由于得：k=-7答：方程的另一个根是，k=-7,.,15,练习、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。,解：,设方程的另一个根为x1.,把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0,解这方程，得k=-2,由韦达定理，得x123k,即2x16,x13,答：方程的另一个根是3,k的值是2。,.,16,练习、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。,解二：,设方程的另一个根为x1.,由韦达定理，得,x12=k+1,x12=3k,解这方程组，得,x1=3,k=2,答：方程的另一个根是3,k的值是2。,.,17,1、如果-1是方程2X2X+m=0的一个根，则另一个根是_，m=_。2、设X1、X2是方程X24X+1=0的两个根，则X1+X2=_,X1X2=_，X12+X22=(X1+X2)2-_=_(X1-X2)2=(_)2-4X1X2=_3、判断正误：以2和-3为根的方程是X2X-6=0（）4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是_。,X1+X2,2X1X2,-3,4,1,14,12,2和-1,基础练习,小结,你有什么收获？,推论1,推论2,.,19,你会做吗？,你会做吗？,已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出p和q的值:,(1)x1=1,x2=2,(2)x1=3,x2=-6,(3)x1=-,x2=,(4)x1=-2+,x2=-2-,(1)p=-9q=6,(2)p=9q=-54,(3)p=0q=-21,(4)p=12q=-3,.,20,试一试,1、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。,2、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。,解：设方程的另一个根为x1,则x1+1=,x1=,又x11=,m=3x1=16,解：,由韦达定理，得,x1+x2=-2,x1x2=,(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=,.,21,今天我学会了.,1、韦达定理及其推论,2、利用韦达定理解决有关一元二次方程根与系数问题时，注意两个隐含条件：,（1）二次项系数a0,（2）根的判别式0,.,22,拓广探索,1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。,解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1,(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2,由韦达定理得x1+x2=,x1x2=,解得k1=9,k2=-3,当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。,.,23,2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。,拓广探索,解：由方程有两个实数根，得,即-8k