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第一章行列式习题课,.排列的逆序数及计算方法,2.对换及对换对排列的影响,3.n阶行列式的定义,4.n阶行列式的性质,）关于代数余子式的重要性质,5.行列式按行（列）展开,1)余子式与代数余子式,6.克拉默法则(注意前提与结论）,由此可得（对方程个数与未知数个数相同的方程组来说）,（1）若非齐次线性方程组无解或多解，则其系数行列式必为零。,（2）若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式必为零。,一、填空题,1、当i=，j=时，19的排列1i25j4897为奇排列；2、四阶行列式中，含有a11a23的项为；3、如果行列式D中的零元素的个数大于n2-n个，则D=；4、若行列式每行元素之和为零，则D=；5.已知四阶行列式D的第二列元素为-1,2,0,1，它们对应的余子式分别为5,3,-7,4,则D=。,7、n为奇数时,=；,=；,8、已知四阶行列式,Mij是元素aij的余子式，则M41-M42+M43+M44=.,9.已知,则x3的系数为。,二、计算行列式（除掌握概念与性质外还有技巧）,方法一：三角形法,例1,解：原式=,另解：原式=,方法二：拆项法。看例1,解：原式=,方法三：升级法。看例1,解：原式=,例2计算,解：构造,（这是一个范德蒙行列式）,=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a),另外f(x)按最后一列展开，可得,上两式是恒等式，故同次幂系数相等。,而D=-A45，故,D=(a+b+c+d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a),方法四：降级法。（行列式中某一行（列）只有一、二个非零元素或者某行（列）的余子式都是易求的行列式）,例3证明,证法一：按最后一行展开,=右边,证法二：按第一列展开，得,Dn=xDn-1+an,再根据上面的递推公式或数学归纳法可得结果。,按第一列展开即可得结果。,证法四：从第一列开始，前一列乘1/x加到后一列上去，化成下三角行列式,方法五递推法,如例1的第二种解法；例3的第二种解法,方法六用数学归纳法,例4证明,证,对阶数n用数学归纳法,练习,1、计算,解,上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知,2、计算,解,提取第一列的公因子，得,解,证,例6有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮70克，磷8克，钾2克；乙种化肥每千克含氮64克，磷10克，钾0.6克；丙种化肥每千克含氮70克，磷5克，钾1.4克若把此三种化肥混合，要求总重量23千克且含磷149克，钾30克，问三种化肥各需多少千克？,解,第一章测试题,一、填空题(每小题4分，共36分),二、计算下列行列式(每小题10分，共20分),有非零解？,三、解答
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