高次方程、分式方程、无理方程的解法

高次方程、分式方程、无理方程的解法,高次方程、分式方程、无理方程的解法,内容概况,内容概况,无理方程,高次方程,分式方程,一次或二次方程,整式方程,有理方程,因式分解、换元,两边同乘以最简公分母、换元,两边平方、换元,一、高次方程的解法,知识要点一.高次方程的解法,1、什么是高次方程,整式方程中，未知数的次数大于或等于3的方程称为高次方程,所以,例1（1）解方程,解：因式分解,高次方程的解法例题1（1）,高次方程的解法例题1（2）,因为,所以,所以,例1（2）解方程,解：因式分解,高次方程解法例1（3）,例1（3）,解方程,解：,因式分解,所以,高次方程解法例2(1),例2（1）解方程,解：,换元,令,则原方程可以化为,即,故,或,即,或,解得：,高次方程解法例2（2）,例2（2）解方程,解：,原方程即,换元,令,原方程可化为,解得,或,即,或,高次方程解法例2（2）,解得：,高次方程解法例2（3）,例2（3）解方程,解：,原方程即,换元,令,原方程可化为,解得,或,即,（舍去）,解得,或,解得,解高次方程的一般步骤,1、整理方程，右边化为0.2、将方程左边因式分解，或者进行换元3、将方程转化为若干个一次或二次方程4、写出原方程的根.,解高次方程的思路是：,高次方程,一次或二次方程,因式分解、换元,高次方程解法方法提炼,1.可通过因式分解将高次方程转化为一次或二次方程,2.可通过换元将高次方程转化为一次或二次方程,3.n次方程最多有n个实数根,二、分式方程的解法,知识要点二.分式方程的解法,1、什么是分式方程,分母中含有未知数的方程叫分式方程.,2、分式方程的解法,我们可通过将方程两边同乘以最简公分母或者换元将分式方程转化为整式方程.,3、解分式方程的注意点,在解分式方程后都必需检验,这是因为从分式方程到整式方程的转化有时不是等价的.,分式方程解法例3（1）,例3（1）解方程,解：,两边同乘以最简公分母,得,解得,经检验，,是原方程的解.,分式方程解法例3（2）,例3（2）解方程,化简为,解：,两边同乘以最简公分母,得,解得,经检验,是增根，原方程无解.,为什么会产生增根？,增根的定义,增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根.,产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根.所以我们解分式方程时一定要代入最简公分母检验,使最简公分母值为零的根,解分式方程的一般步骤,1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.2、解这个整式方程.3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.4、写出原方程的根.,解分式方程的思路是：,分式方程,整式方程,去分母,一化二解三检验,分式方程解法例4,例4解方程,解：,令,原方程可化为,即,解得,所以,或,分式方程解法例4,即,或,解得,经检验以上均为原方程的根.,换元可以使运算变得简便,分式方程解法例5,已知关于,的方程,的解为负数,的范围.,例5,求实数,解：,左边通分,所以,所以,，,且,解得,且,分式方程解法方法提炼,在分式方程两边同乘以最简公分母，可把分式方程化为整式方程,2.换元可以使解方程的过程变得简便,3.解分式方程时应注意检验,一化二解三检验,三、无理方程的解法,知识要点三.无理方程的解法,1、什么是无理方程,根号内含有未知数的方程叫无理方程.,2、无理方程的解法,我们可通过将方程两边平方或者换元将无理方程转化为有理方程.,3、解无理方程的注意点,在解无理方程后必需检验,这是因为从无理方程到有理方程的转化有时不是等价的.,无理方程解法例6（1）,例6（1）解方程,解：,解得,为增根,（,）,此题也可先解出方程*的根，再代回原方程检验.,为什么会产生增根？,无理方程解法例6（2）,例6（2）解方程,解：,移项，,两边平方，化简得,解得,或,经检验，,是原方程的根，,是增根.,无理方程解法例6（2）,例6（2）解方程,此题也可令,转化为,的一元二次方程,求解.,即,解得,或,（舍去）,即,解得,无理方程解法例7,例7解方程,解：,移项得,两边平方，整理得,再两边平方，化简得,解得,经检验,为原方程的根，,是增根.,方程一边出现两个根号时要先移项.,解无理方程的一般步骤,1、将方程的两边平方，化成有理方程.有时要先移项，再平方2、解这个有理方程.3、把有理方程的解代入原方程检验4、写出原方程的根.,解无理方程的思路是：,无理方程,有理方程,去根号,一化二解三检验,无理方程解法例8,例8解方程,解：,令,则原方程化为,解得,（舍去）,所以,解得,经检验,都是原方程的根.,通过换元可将原方程化为关于,的一元二次方程.,无理方程解法方法提炼,移