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文档简介

一、偏导数的定义及其计算法,二、高阶偏导数,三、小结,第二节偏导数,一、偏导数的定义及其计算法1、偏增量的概念,设在点的某个邻域内有定义，,当从取得改变量,而保持不变时，函数得到一个改变量,称为在点关于的偏增量.,称为在点关于的偏增量.,2、二元函数在点(x0,y0)的偏导数,记为,注意:,记为,3、偏导函数,偏导数的概念可以推广到三元以上函数,如在处对x的偏导数,4、偏导数求法,(1)求关于x的偏导数，把z=f(x,y)中的y看成常数，对x仍用一元函数求导法求偏导.,(2)求关于y的偏导数，把z=f(x,y)中的x看成常数，对y仍用一元函数求导法求偏导.,证,原结论成立,解,法一先求偏导数再代入具体点.,法二先固定y=2或x=1，再对x或y求偏导数.,解法2:,求的两种常用方法：,法一先求偏导数再代入具体点.,法二先将,但法二并不总是适用，如求,5、有关偏导数的几点说明：,例5已知理想气体的状态方程（为常数），求证：.,证,(2)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,(3)偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在,一元函数中在某点可导连续，,多元函数中在某点偏导数存在连续，,连续.,连续,偏导数存在.,可见，二元函数在一点处偏导数存在和连续没有必然的联系.,6、偏导数的几何意义,偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率.,偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率.,二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点M0处的切线,对x轴的斜率.,在点M0处的切线,斜率.,是曲线,对y轴的,例6求曲线在点处的切线与y轴正向夹角.,解,二、高阶偏导数,设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们的偏导数是z=f(x,y)的二阶偏导数.,按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:,纯偏导,混合偏导,例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为,z=f(x,y)先关于x的n1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为:,类似可以定义更高阶的偏导数.,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,解,解,说明因为初等函数的偏导数仍为初等函数，而初等函数在其定义区域内是连续的，故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.,定理可以推广，例如：,对三元函数u=f(x,y,z),当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有,若在f(x,y)的表达式中将x换为y，同时把y换为x时，表达式不变，则称f(x,y)对x,y具有轮换对称性.,对有轮换对称性的函数，若已经求得，则只要在的表达式中将换为，同时把换为即可得到.,解,函数的轮换对称性可推广到三元以上的函数.,偏导数的定义,偏导数的计算、偏导数的几何意义,高阶偏导数,（偏
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