Lyapunov稳定性.ppt

第三章Lyapunov稳定性理论,Lyapunov稳定性的定义Lyapunov稳定性的定理线性系统Lyapunov稳定性分析非线性系统Lyapunov稳定性分析应用实例：在SSO/LFO中的应用,1、Lyapunov稳定性的定义,控制系统的首要条件：稳定线性定常系统：Nyquist稳定判据，Routh判据等线性时变与非线性：Lyapunov第二法（无需求出系统的解，但构造Lyapunov函数困难）逐点法与域的方法,1、Lyapunov稳定性的定义,系统状态方程的解,状态空间中的一条轨迹（曲线）。,1、Lyapunov稳定性的定义,系统的平衡状态,1、Lyapunov稳定性的定义,坐标变换,主要研究系统在平衡（坐标原点）状态的稳定性。,1、Lyapunov稳定性的定义,超球域（欧几里德范数）,n2：圆；n3：球。,1、Lyapunov稳定性的定义,Lyapunov意义下的稳定性,1、Lyapunov稳定性的定义,Lyapunov意义下的稳定性,1、Lyapunov稳定性的定义,Lyapunov意义下的稳定性,1、Lyapunov稳定性的定义,Lyapunov意义下的稳定性,1、Lyapunov稳定性的定义,Lyapunov意义下的稳定性,1、Lyapunov稳定性的定义,Lyapunov意义下的稳定性,1、Lyapunov稳定性的定义,标量函数的正定性,1、Lyapunov稳定性的定义,判断以下标量函数的正定性,1、Lyapunov稳定性的定义,Sylvester准则：判断二次型标量函数的正定性,2、Lyapunov稳定性定理,Lyapunov第一法,2、Lyapunov稳定性定理,Lyapunov第一法,2、Lyapunov稳定性定理,Lyapunov第二法,基本思路：系统能量衰减系统将达到静止状态如果存在渐近稳定平衡点，则在平衡点处衰减到最小Lyapunov函数（能量函数）：V(X,t)或V(X)无需求解系统的状态方程,2、Lyapunov稳定性定理,Lyapunov稳定性定理-1,2、Lyapunov稳定性定理,Lyapunov稳定性定理-1,2、Lyapunov稳定性定理,Lyapunov稳定性定理-1,2、Lyapunov稳定性定理,Lyapunov稳定性定理-1,2、Lyapunov稳定性定理,Lyapunov稳定性定理-2,2、Lyapunov稳定性定理,Lyapunov稳定性定理-2,2、Lyapunov稳定性定理,Lyapunov稳定性定理-2,2、Lyapunov稳定性定理,Lyapunov稳定性定理-3,2、Lyapunov稳定性定理,Lyapunov稳定性定理-3,2、Lyapunov稳定性定理,Lyapunov稳定性定理-4,2、Lyapunov稳定性定理,Lyapunov稳定性定理-4,2、Lyapunov稳定性定理,Lyapunov第二法,能够找到Lyapunov函数（能量函数）并判断出系统是稳定的，则系统必为稳定；若判断出系统是不稳定的，不能就此判断系统肯定不稳定。,2、Lyapunov稳定性定理,3、线性系统的Lyapunov稳定性分析,线性定常系统的Lyapunov稳定性分析,3、线性系统的Lyapunov稳定性分析,确定使系统渐近稳定的K的范围,4、非线性系统的Lyapunov稳定性分析,线性系统：局部渐近稳定大范围渐近稳定；非线性系统：大范围不是渐近稳定，但在局部可能是渐近稳定。,4、非线性系统的Lyapunov稳定性分析,找出原点周围最大范围内满足稳定条件的能量函数。,4、非线性系统的Lyapunov稳定性分析,克拉索夫斯基方法变量梯度法Lure型Lyapunov函数,4、非线性系统的Lyapunov稳定性分析,Lure非线性控制系统,即先将系统的非线性部分孤立出来，将其视为余下线性系统的反馈控制，这就使得该非线性系统具有反馈控制系统的形式。寻找使这个反馈控制系统在不确定性约束条件下具有绝对稳定性的充分必要条件的问题就是著名的鲁里叶问题。,4、非线性系统的Lyapunov稳定性分析,Lure非线性控制系统,逐点法域的方法,4、非线性系统的Lyapunov稳定性分析,4、非线性系统的Lyapunov稳定性分析,5、应用实例：在SSO中的应用,次同步谐振SSR:subsynchronousresonance次同步振荡SSO:subsynchronousoscillation,1970和1971年，美国mohave电厂两台大型机组的大轴损坏，线路电流中包含30.5Hz的振荡分量，与轴系二阶固有振荡频率互补。汽轮发电机带串联补偿，SSR，轴系扭振各种开关操作、HVDC、PSS、SVC等都可能引起，SSO我国：1980年代发生了几次；目前比较严重，尤其是TCSC的线路,5、应用实例：在SSO中的应用,SSR/SSO,5、应用实例：在SSO中的应用,IEEE工作组第一标准模型,SSR/SSO,5、应用实例：在SSO中的应用,SSR/SSO,IEEE第二标准模型,5、应用实例：在SSO中的应用,Lyapunov第二法,基于鲁里叶型Lyapunov函数的电力系统次同步谐振稳定运行域的分析,SSR的IEEE第一基准轴系模型：,D1-D6:分别为对应轴系的自阻尼系数；k1-k5:为相邻两段轴系间的弹性系数；M1-M6:分别为对应轴系的转动惯量,轴系运动方程：,基于鲁里叶型Lyapunov函数的电力系统次同步谐振稳定运行域的分析,式中：i=1,2,3,4,5,6;k0=k6=0;T5=-P0sin;T6=0;Ti为对应段的输入转矩或功率；，为对应的转角和角速度；,为工频。,为了求得轴系平衡点，令，只有当时轴系才有稳定运行点，其中，此时轴系存在两类似孤立的以2为周期的平衡点，分别为,只有是稳定的，仅需考察在其邻域内的局部渐进稳定性。,令：，轴系方程可改写为,仅当时，才是Lure控制系统，要求,改写为标准的Lure控制系统：,对于Lure系统，可构造如下的Lyaponov函数,成立的充分条件是：,由于A矩阵是正半定，故条件（1）成立。条件（8）成立的充分条件是由于，故可取和，以上条件简化为：,只要以上条件成立，则构造的即为Lyapunov函数。,5、应用实例：在LFO中的应用,低频振荡LFO:Lowfrequencyoscillation,由于系统本身的阻尼不足，很小的扰动就可能使一些阻尼很弱的模态激发出来，表现为发电机转子角之间的摇摆，联络线上的功率持续振荡。,5、应用实例：在LFO中的应用,电网规模越来越大区域电网互联高增益励磁调节器的广泛使用,低频振荡增多的原因,1996.8.10美国WECC大停电典型的由于低频振荡造成的大面积停电事故,我国：随着大区联网的出现，低频振荡现象也逐渐增多，其严重性甚至超过暂态稳定性，成为系统安全稳定运行主要障碍。,5、应用实例：在LFO中的应用,10.29：2005年10月29日22:2122:26（振荡频率0.77Hz,鄂西北存在弱阻尼振荡模式）7.1：2006年7月1日21:0021:06（振荡频率1.12Hz,河南500kV系统故障）,5、应用实例：在LFO中的应用,特征值法（特征值、特征向量、阻尼比、相关因子）,目前电力系统认为：阻尼比大于3即表明系统阻尼较强。,5、应用实例：在LFO中的应用,振荡衰减到10所需的周波数为,5、应用实例：在LFO中的应用,阻尼比为3时振荡衰减到10所需的时间,5、应用实例：在SSO/LFO中的应用,低频振荡LFO:Lowfrequencyoscillation,阻尼比为3时的振荡衰减曲线,5、应用实例：在SSO/LFO中的应用,低频振荡LFO:Lowfrequencyoscillation,阻尼比为3时的振荡衰减曲线,湖北电网的斗孝线功率振荡现象,田口法的关键是正交表和信噪比（RSNR）正交表工具用来确定实验的方式和次数，正交表可记为Lc(ab)，全介正交表满足c=abL：表示正交表c：表示总共要做c次实验a：表示每个因素都有a个水准B：表示最多可考虑b个因素田口法通过将因素的变化视为噪声，以一种新的指标(信噪比)来表示系统的鲁棒性能，SNR越大表示鲁棒性能越好,基于田口法与Lyapunov函数的鲁棒性PSS参数设计,式中：r为实验次数；y为品质特性指标，分别适用于品质特性指标越小越好(lowerisbetter，LB)、一般最好(nominalisbest，NB)和越大越好(higherisbetter，HB)的不同问题的应用。,基于Lyapunov函数的系统稳定性指标,电力系统动态特性可描述为式中：x为状态向量；u为外部输入向量。在研究系统小干扰稳定性时，在平衡点通过泰勒级数展开式并略去二阶及高阶项，这样线性化后能够得到式中：考虑没有外部输入，此时的系统方程为可见，在进行小干扰稳定性分析时，在运行点附近，电力系统可以近似看作一个线性定常连续系统。,采用二次型Lyapunov函数Jop来表征系统在小干扰情况下的稳定性能：式中：x为状态变量向量；Q为权重矩阵。基于PSS参数优化的特点，比较关注的是与发电机转速有关的信息，因此将Q取为一个n阶方阵(n为状态矩阵的阶数)，其对应状态方程中发电机转速变化量的行和列的对角线上的元素为1，其余元素均为零。该式反映的是整个系统在运行点附近对于发电机转速变化的稳定性能指标，因此需要通过最小化Jop来得到最好的稳定品质。,根据李雅普诺夫第二法，线性连续定常系统在平衡点x=0为大范围渐进稳定的充要条件是：对于给定的正定实对称矩阵Q，必存在正定的实对称矩阵P，满足如下李雅普诺夫方程对应的能量函数及其导数为Lyapunov函数Jop可改写为,由于系统是渐进稳定的，因此x=0，基于线性定常的假设，可进一步简化为式中：P为一个正定实对称矩阵，x(0)为状态变量的初始值向量。基于田口法信噪比的目标函数：,PSS参数优化设计模型,PSS