高中数学课标教材培训讲授纲要(张劲松)

一、高中数学新课程改革的主要目标 （教科书编写的主要目的）二、主编寄语三、教科书结构体系四、教科书主要内容及安排五、教科书体例格式六、教科书主要特点七、教科书编写过程中重点考虑的几个问题八、高中数学新课程实验的回顾与反思,一、高中数学新课程改革的主要目标,1继承、发扬我国数学教育的优势数学课程教材具有体系结构严谨，逻辑性强，语言叙述条理清晰，文字简洁、流畅，有利于教师组织教学，注重对学生进行基础训练等优点；数学教学强调对概念的理解和基本技能的训练，强调为学生铺设合理的认知台阶，强调变式训练等；学生的数学基础扎实，运算能力和逻辑推理能力强等等。,2. 正视存在的问题，努力改进教学没有真正抓住数学的本质，有时纠缠在细枝末节上，存在脱离数学本源的现象数学教学“不自然”，强加于人；缺乏问题意识；重结果轻过程，“掐头去尾烧中段”；重解题技能技巧，轻普适性思考方法的概括；方法论层次的内容渗透不够；机械模仿多独立思考少，数学思维层次不高；“讲逻辑而不讲思想”。,3数学教育改革中中应处理好下面几个关系学生主体与教师主导接受学习与发现学习基础与创新数学知识、能力与素养数学化与情境化（直观与逻辑、形象与抽象等）独立思考与合作交流过程与结果面向全体与因材施教书本知识与数学应用,4重视数学课堂教学设计课堂是实施素质教育的主阵地，为了提高课堂教学质量和效益，必须重视课堂教学设计在教材的呈现方式中，揉入了教学设计的成分在“教师教学用书”中专门有一个栏目“教学设计案例”供教师选用参考,二、主编寄语,1为什么学习数学？数学是有用的学数学对于提高个体能力至关重要2对数学的认识数学是自然的数学教材讲背景、讲数学、讲应用数学教材要自然、生动、活泼，不强加于人数学是清楚的清楚的前提、清楚的推理，得出清楚的结论。数学是易学的，因为它是清楚的；数学是难学的，也因为它是清楚的。,3. 如何才能学好数学呢？学数学要摸索自己的学习方法要引导学生提问，使学生“看过问题三百个，不会解题也会问”要强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用学数学趁年轻,三、教科书结构体系,1必修课程和选修课程 普通高中数学课程标准（实验）强调“构建共同基础、提供发展平台”“提供多样课程、适应个性选择”。 基础性、多样性、选择性。 课程分为必修课程和选修课程。,2模块、专题必修课程包括数学1-数学5五个模块。选修课程包括四个系列：系列1-系列4，系列1两个模块、系列2三个模块，系列3六个专题、系列4十个专题。每个模块36个学时，每个专题18个学时。 4学时/周，9周+1周/模块,3选课建议（学分制）数学1-数学5，10学分文科系列1两个模块+系列3两个专题，6学分系列1两个模块+系列3两个专题+系列4四个专题，10学分理科系列2三个模块+系列3两个专题+系列4两个专题，10学分系列2三个模块+系列3两个专题+系列4六个专题，14学分,四、教科书主要内容及安排,（一）必修课程数学1：集合、函数概念与基本初等函数I（指 数函数、对数函数、幂函数）；数学2：立体几何初步、平面解析几何初步；数学3：算法初步、统计、概率；数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面 上的向量、三角恒等变换；数学5：解三角形、数列、不等式。,（二）选修课程 系列1：由两个模块组成 选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用； 选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。 系列2：由三个模块组成 选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何； 选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入； 选修2-3：计数原理、统计案例、概率。,系列1和系列2的差异,除“框图”内容外，系列1的内容是系列2内容的真子集即使有些相同的内容，系列2的要求高于系列1空间向量与立体几何，计数原理，概率定积分、微积分基本定理，数学归纳法，直线与圆锥曲线的位置关系，曲线与方程、方程与曲线,常用逻辑用语（8课时）,（1）命题及其关系原命题、逆命题、否命题、逆否命题。四种命题间的相互关系（2）充分条件与必要条件 充分条件、必要条件与充要条件（3）简单的逻辑联结词“且”“或” “非”（4）全称量词与存在量词对含有一个量词的命题进行否定,圆锥曲线与方程,1.1 变化率与导数 约4课时 1.2 导数的计算 约4课时 1.3 导数在研究函数中的应用 约3课时 1.4 生活中的优化问题举例 约3课时 1.5 定积分的概念 约4课时 1.6 微积分基本定理 约2课时 1.7 定积分的简单应用 约2课时 实习作业 约1课时 小结 约1课时,核心概念和数学思想,导数：变化率思想，由均匀变化研究不均匀的变化 由平均变化率过渡到一点的变化率（导数），整体 局部由一点的变化率（导数）估计在这点附近的平均变化率,几 点 事 项,物理意义、几何背景极限的严格定义与直观微积分形式化运算的规则、步骤与本质导数与函数的单调性、极值和最大（小）值，闭区间，三次多项式函数 型的复合函数的导数基本初等函数的导数公式导数的运算法则,知识结构框图,数系的扩充与复数的引入,数系扩充过程：数的运算规则、方程理论。复数，复数相等的充要条件。复数的代数表示法及其几何意义。复数代数形式的四则运算，复数代数形式的加、减运算的几何意义。,流程图,程序框图,其他流程图,流程图的一般形式、特征和作用,生活中的流程图,数学中的流程图,画流程图,读流程图,描述数学计算或证明过程,结构图,知识结构图,其他结构图,读知识结构图,画知识结构图,组织结构图,整理资料,系列3：由六个专题组成选修3-1 数学史选讲；选修3-2 信息安全与密码； 选修3-3 球面上的几何；选修3-4 对称与群；选修3-5 欧拉公式与闭曲面分类； 选修3-6 三等分角与数域扩充。 ,系列4：由十个专题组成选修4-1 几何证明选讲； 选修4-2 矩阵与变换；选修4-3 数列与差分； 选修4-4 坐标系与参数方程； 选修4-5 不等式选讲； 选修4-6 初等数论初步；选修4-7 优选法与试验设计初步；选修4-8 统筹法与图论初步； 选修4-9 风险与决策；选修4-10 开关电路与布尔代数。 ,开设的目的教科书编写过程的考虑如何学习、如何评价？专题介绍 选修3-1 数学史选讲 选修3-3 球面上的几何 选修3-4 对称与群 选修4-1 几何证明选讲 选修4-4 坐标系与参数方程 选修4-5 不等式选讲,开设的目的,1扩展学生的数学视野；2进一步打好数学基础；3提高对数学的科学、应用、文化价值的认识。,教科书编写过程的考虑1深入浅出、通俗易懂；2掌握和体会重要的概念、结论和思想方法；3提高分析和解决问题的能力，体会数学的作用，发展应用意识；4“内容和要求”小于标准。,如何学习、如何评价？1教师讲授2教师指导下独立阅读、写专题报告3自主探索、合作交流,选修3-1 数学史选讲 史：人物、事件、成果；产生、发生、发展的过程数学史选讲的本质是数学思想史，通过人物、事件讲述重要的数学思想方法,1早期算术与几何计数与测量 纸草书中记录的数学（古代埃及） 泥板书中记录的数学（两河流域） 周髀算经、勾股定理（赵爽的图） 十进位值制的发展2古希腊数学 毕达哥拉斯多边形数，从勾股定理到勾股数，不可公度问题 欧几里得与几何原本，演绎逻辑系统，第五公设问题，尺规作图，公理化思想对近代科学的深远影响 阿基米德的工作：求积法,3中国古代数学瑰宝 九章算术中的数学（方程术、加减消元法、正负数） 大衍求一术（孙子定理） 中国古代数学家介绍4平面解析几何的产生数与形的结合 函数与曲线 笛卡儿方法论的意义,5微积分的产生划时代的成就6近代数学两巨星欧拉与高斯 欧拉的数学直觉 高斯时代的特点（数学严密化）7千古谜题伽罗瓦的解答 从阿贝尔到伽罗瓦（一个中学生数学家） 几何作图三大难题 近世代数的产生,8康托的集合论对无限的思考 无限集合与势 罗素悖论与数学基础（哥德尔不完备定理）9随机思想的发展 概率论溯源 近代统计学的缘起,10算法思想的历程 算法的历史背景 计算机科学中的算法11中国现代数学的发展 现代中国数学家奋发拼搏，赶超世界数学先进水平的光辉历程,选修3-3 球面上的几何,球面几何与欧氏几何的联系与区别类比球面上两点间的距离球面三角形的内角和与球面三角形的面积球面三角形全等的“aaa”定理单位球面球面几何与拓扑学的关系三面角“脚手架”平面与球面几何直观能力和空间想象能力,选修3-4 对称与群 对称：轴对称、中心对称 群：一种代数结构用群刻画对称：变换群，简单图形的对称群对称变换群：把对称变换作为一个运算系统来研究群的运算与性质群在晶体分类和伽罗瓦理论上的应用,选修4-1 几何证明选讲,第一讲相似三角形的判定及有关性质 约课时第二讲直线与圆的位置关系 约课时第三讲圆锥曲线性质的探讨 约课时学习总结报告 约课时,选修4-4 坐标系与参数方程,第一讲 坐标系 8课时 平面直角坐标系 约2课时 极坐标系 约2课时 简单曲线的极坐标方程 约2课时 柱坐标系与球坐标系简介 约2课时,第二讲 参数方程 10课时 曲线的参数方程 约3课时 圆锥曲线的参数方程 约3课时 直线的参数方程 约2课时 渐开线与摆线 约2课时,选修4-5 不等式选讲重要不等式绝对值不等式、柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式不等式的证明：比较法、综合法分析法、反证法、放缩法、数学归纳法解部分绝对值不等式不等式的简单应用：极值强调不等式的几何意义,证明下列绝对值不等式,解下列绝对值不等式,柯西不等式（1）向量形式：（2）（3）（4）,排序不等式设 为两组实数， 是 的任一排列，那么,贝努利不等式,不等式的应用与几何背景,函数的极值均值不等式、柯西不等式几何背景技巧数学思想现在的要求已经不低了,（三）主要知识内容及前后之间的联系1函数基本初等函数：指数函数、对数函数、幂函数（1，2，3， ，1）、三角函数。 多项式（次数不超过三次）函数（包括二次函数）非常重要函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等等。 直线上升、指数爆炸、对数增长都是增长快慢的反映。函数的图象：性质的直观载体,函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。 强调与现实世界的联系，突出背景和应用。三角函数：周期变化数学模型。研究函数性质的方法：初等数学的方法、导数方法，特别是用导数研究函数的单调性。函数与方程、数列、不等式，统计（线性回归）、概率（正态分布）的联系。, 几个值得关注的问题介绍无理指数幂的意义；引入对数换底公式；引入部分幂函数；反函数的弱化处理；单调性增加了增（减）快慢的比较；不讲极限的严格定义，讲导数和定积分，涉及变化的趋势和过程；强调导数的本质：用均匀变化研究不均匀变化。由平均变化率到一点的变化率，由一点的变化率估计在这点附近的平均变化率。,2立体几何数学2立体几何初步：空间几何体，点、直线、平面之间的位置关系选修2-1空间向量与立体几何：距离、夹角；通过引进直线的方向向量和平面的法向量，把位置关系向量化（坐标化），通过向量及其运算进行论证空间想象、抽象概括、推理论证直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算,3解析几何 数学2解析几何初步：直线与方程、圆与方程 选修1-1选修2-1：圆锥曲线与方程解析几何的基本思想：“三步曲”，坐标法。解决几何问题的程序性和普适性。,4统计与概率强调统计、概率的基本思想。与过去相比，这部分知识内容加强了。概率理论指导下的统计，统计实践基础上的概率。（1）对统计学科的整体把握数据能提供哪些信息，数据能告诉我们什么。如何抽取数据（样本）如何从数据中提取（图、表，数字特征）所得结论的可靠性（用样本估计总体）,主 要 内 容总体、样本，随机抽样、系统抽样、分层抽样；频率分布图、频率分布直方图、频率折线图、茎叶图；平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差。,基 本 思 想用样本估计总体样本的频率分布估计总体分布样本的数字特征估计总体的数字特征样本的随机性与总体的确定性,抽样总体中的每个个体等可能被抽到。不同的抽样方法得到不同的数学模型（样本的分布是不同的）。统计中最常用的假定是：样本是独立同分布的。独立是指每次抽样和前面的抽取无关，同分布是指每次抽到的概率是相等的。这是非常理想化，是实际问题的一种近似。,整理数据和画统计图表画统计图表很重要，但不是目的。目的是从数据中得到信息，不应只让学生掌握方法，而应侧重于说明整理数据后，能告诉我们何种信息。从得到信息的角度出发，分析各种方法和图表的优劣。借助信息技术软件，如EXCEL画统计图表。,数据的数字特征生成一些新的数据，用它们来反映这组数据的特性。了解数字特征的作用和意义。让学生认识到数据的数字特征反映信息时的优劣，即它们不同的适用范围。 举例说明“平均数”和“中位数”。,结果的随机性样本的随机性导致结果的随机性。由于结果的随机性，下结论可能犯错误。尽管可能犯错误，但统计的推断还是有意义的。样本随机性产生的误差是可以估计的，也可以估计由此犯错误的概率。这和样本抽取不当以及故意制造误导产生的错误是完全不同的。,线性相关性相关关系和函数关系的联系与区别：相关关系是不确定的，函数关系是确定的。用函数关系研究相关关系，是相关关系的一种近似。与数学1中建立实际问题的数学模型的联系。现在可以从统计的角度，进行更确切、更恰当地说明和解释。最小二乘法。对样本数据的整体来说。关注方程的意义和合理性。,统计案例通过四类（两类）典型的案例的解决来理解统计的思想，而不是死背概念和公式。要求学生掌握解决统计问题的全过程。“人的体重与身高的关系”：回归“肺癌与吸烟有关吗？”：独立性检验聚类分析和实际推断、假设检验不作要求,总体和样本“总体”和“样本”的概念，直观上不难理解，但要深究起来并不简单。在统计中，总体被定义为一种分布。教师不应该，也不必要引导学生探究这些概念的确切定义。抽样非常重要。提取样本的数字特征，画样本数据的统计图表的前提都是抽样。,（2）概率概率的定义概率的公理化定义 概率的统计定义、古典概型定义、几何概型定义都是描述性的。大量重复实验。并非所有不确定现象都是概率论研究的对象。人们的主观猜测和愿望，没有重复实验的意义，这种主观概率不是我们概率论研究的对象。,结果的随机性不同于结果未知。概率论是现实许多问题的数学模型，现实的许多问题可以用这个数学模型近似描述。实际上，在现实世界中，“条件完全相同下的重复实验”是完全不可能的。频率与概率的关系：频率是随机的、概率是确定的。概率反映的是大量重复试验中频率的稳定性。出现频率偏离概率较大的情形是可能的，这是随机现象的特性。,事件的互斥与独立虽然是用集合的语言来描述的，但要结合具体事例来讲。重点强调事件的独立性，独立的概念其直观意义并不难理解。古典概型古典概型是一类数学模型，并非现实生活的确切描述。同一现实对象可以用不同的模型来描述，同一个问题可以用不同的古典概型来解决。,最重要的是给出正确的模型。实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性。概率的应用几何概型：随机研究确定，模拟如果我们把现实世界发生的很多现象看成是随机的，人们总想在事前预料出结果，认为不如此则一切无意义，其实不然。,在确定性现象的优化问题中,人们要求取得最大值或最小值，例如，利润最大、成本最小等等。在随机决策中， 我们只能要求平均利润最大、平均成本最小等等。就某一次具体的交易来说，采用使平均利润最大的策略，并不能保证比不采用该策略的利润大，完全可能利润还小，但它保证多次采用该策略能使平均利润最大。因此，它确实对人们的活动有着指导意义。,分布的重要性在概率论中，最重要的概念是分布。分布为什么重要？概率论是研究随机现象的。随机现象有两个最基本的特点：结果的随机性和频率的稳定性。随机性是指重复同样的试验时，所得结果并不相同，以至于在试验之前无法预料试验的结果。稳定性是指在大量重复试验中，每个试验结果发生的频率稳定在一个常数附近。,什么叫做把一个随机现象研究清了？ 这随机现象中所有可能出现的结果；每个结果出现的概率。知道了这两点，就说对这随机现象研究清楚了。我们不可能了解得比这更多。掌握了随机现象的规律并不意味着改变了“结果的随机性”。,随机变量是一个从试验结果的集合到实数集合的映射，因此，随机变量就是把每一个结果用一个数表示的数学说法。一旦给出了随机变量，即把每个结果都用一个数表示后。了解随机现象，就变成了解这随机变量所有可能的取值和取每个值的概率。如果随机变量的取值是离散的，不难看出，了解了它的分布列就了解了随机变量的所有取值和取值的概率，从而了解了随机现象。,分布列完全描述了随机现象的规律。对连续性随机变量讨论是类似的。了解随机现象就是要了解分布。最常见、最重要的分布：二项分布、超几何分布、正态分布等等。尽管这些分布无法覆盖各种各样的随机现象，但它们描述了随机现象中最有用最常见的情形，十分有助于我们对一般随机现象的理解和讨论。,随机变量的数字特征：数学期望、 方差数学期望、方差等都是数，它们没有随机性。分布也是如此。它们是用来刻画随机现象的。样本的数字特征是随机的，它们是用来估计随机变量的数字特征的。分布完全描述了随机变量的规律，它完全确定了随机变量的数字特征。反过来，仅仅知道数字特征是无法确定分布的。从这个意义上说，分布远比数字特征重要。,数字特征的重要性在于，它们有非常明确的含义，反映了随机变量的重要信息。在许多情形中，人们往往不需要知道随机变量的分布，只需要知道它的数字特征。另一方面，人们有时求不出随机变量的分布，退而求其次，只能设法求其数字特征。在求分布时，往往是先求出分布所在的类，然后再确定参数，而参数通常都是由数字特征决定的。,5算 法新增内容，全新的内容。算法的含义：一定规则、一类问题；明确、有限、有效程序框图：流程图三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环结构机械、重复，判断,基本算法语句：输入、输出、赋值、条件、循环语句。算法案例。通过实例进行算法的教学。数学中的算法与计算机技术建立联系，形式化地表示算法。体会算法的思想，提高抽象概括能力和逻辑思维能力。,五、教科书体例格式,主编寄语本册导引：本册主要知识内容、学习数学的方法章章引言节实习作业小结复习参考题 11111正文中“观察”“思考”“探究”等栏目拓展性栏目“观察与猜想”“阅读与思考”“探究与发现”“信息技术应用”练习、习题（A组、B组）小结：本章知识结构、回顾与思考（问题、概括）复习参考题（A组、B组）,六、教科书主要特点,突出过程：讲背景，讲数学，讲应用 知识的引入强调背景，使教材生动、自然而亲切，让学生感到知识的发展水到渠成，而不是强加于人。 螺旋上升地安排核心数学概念和重要数学思想；把握数学本质，保证科学性；强调数学形式下的思考和推理训练。 通过解决具有真实背景的问题，引导学生体会数学的作用与力量，发展应用意识。,（1）从典型实例出发引出函数概念目的：加强背景，体现“函数模型”思想加强概念形成