王升瑞(数项级数及审敛法)_第1页
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文档简介

1,主讲教师:王升瑞,高等数学,第二十九讲,2,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第二节,一、正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,第十二章,3,一、正项级数及其审敛法,若,定理1.正项级数,收敛,部分和序列,有界.,若,收敛,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,则称,为正项级数.,单调递增,收敛,也收敛.,4,定理2(比较审敛法),且存在,对一切,有,1、若级数（2),则级数(1),2、若级数（1）,则级数（2）,证略,则有,收敛,也收敛;,发散,也发散.,两个正项级数,(常数k0),5,解1：,发散,例1：判断下列级数的敛散性,而,收敛,由比较判别法可知原级数收敛,解2：,而,由比较判别发可知原级数发散。,6,证明级数,发散.,证:因为,而级数,发散,根据比较审敛法可知,所给级数发散.,例2.,7,例3.讨论p级数,(常数p0),的敛散性.,解:1)若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知p级数,发散.,发散,2）若,顺序地把一项、两项、四项、八项括在一起,此式,由比较判别法可知p1时，p级数收敛。,8,重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.,调和级数与p级数是两个常用的比较级数.,若存在,对一切,9,例4,10,例5,11,例6,12,证,例6,13,定理3.(比较审敛法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散;,(2)当l=0,(3)当l=+,证明略！,设两正项级数,满足,(1)当00),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨,55,1、若级数,则有,因此对一切,有,由定理1可知,则有,2、若级数,因此,这说明级数,也发散.,也收敛.,发散,收敛,级数,则有,56,由图可知,57,因为当,故,考虑强级数,的部分和,故强级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛.,时,2)若,58,其和分别为,绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.,*定理8.绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.,*定理9.(绝对收敛级数的乘法),则对所有乘积,按任意顺序排列得到的级数,也绝
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