2012年高考数学模拟试题及答案(二)

2012年高考数学模拟试题及答案（二）6 已知过函数f（x）=的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为3。（1） 求a、b的值；（2） 求A的取值范围，使不等式f（x）A1987对于x1，4恒成立；（3） 令。是否存在一个实数t，使得当时，g（x）有最大值1？ 7 已知两点M（2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为H，是2和的等比中项。（1） 求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；（2） 若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程。8已知数列an满足 （1）求数列bn的通项公式； （2）设数列bn的前项和为Sn，试比较Sn与的大小，并证明你的结论.9已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线对称（）求双曲线C的方程；（）设直线与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线经过M（-2，0）及AB的中点，求直线在轴上的截距b的取值范围； （）若Q是双曲线C上的任一点，为双曲线C的左，右两个焦点，从引的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程10. 对任意都有（）求和的值（）数列满足：=+，数列是等差数列吗？请给予证明；试比较与的大小参考答案：6、解：（1）=依题意得k=3+2a=3， a=3，把B（1，b）代入得b=a=3，b=1（2）令=3x26x=0得x=0或x=2f（0）=1，f（2）=233221=3f（1）=3，f（4）=17x1，4，3f（x）17要使f（x）A1987对于x1，4恒成立，则f（x）的最大值17A1987A2004。（1） 已知g（x）=0x1，33x20， 当t3时，t3x20，g（x）在上为增函数，g（x）的最大值g（1）=t1=1,得t=2（不合题意,舍去） 当0t3时, 令=0,得x=列表如下:x（0, ）0g（x）极大值g（x）在x=处取最大值t=1t=3x=1当t0时，0，g（x）在上为减函数，g（x）在上为增函数，存在一个a=，使g（x）在上有最大值1。7、解:（1）设动点的坐标为P（x,y）,则H（0,y）,=（2x,y）=（2x,y）=（2x,y）（2x,y）=由题意得PH2=2即即，所求点P的轨迹为椭圆（2）由已知求得N（2，0）关于直线x+y=1的对称点E（1，1），则QE=QN双曲线的C实轴长2a=（当且仅当Q、E、M共线时取“=”），此时，实轴长2a最大为所以，双曲线C的实半轴长a=又双曲线C的方程式为8.（1） （2）9解：（）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0该直线与圆相切，双曲线C的两条渐近线方程为y=x2分故设双曲线C的方程为又双曲线C的一个焦点为 ，双曲线C的方程为4分（）由得令直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在上有两个不等实根因此 解得又AB中点为，直线l的方程为6分令x=0，得，8分（）若Q在双曲线的右支上，则延长到T，使，若Q在双曲线的左支上，则在上取一点T，使根据双曲线的定义，所以点T在以为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是 10分由于点N是线段的中点，设，则，即代入并整理得