2018年全国高中数学联赛山西省预赛试题及参考答案

.2018年全国高中数学联赛山西省预赛试题解答一、填空题（每小题8分，共64分）1.集合中，末尾数字为8的元素之和是_.答案：204626解：若将所有的这种数划去其尾数8，剩下的数就是0，1，2，201，共计划去202个8，因此所求的和值为.2.将全体正整数按自小到大的顺序排列，然后这样分段，使得第一段有1个数，第二段有3个数，第段有个数；那么，第20段中的第18个数是_.答案：379解：显然，前段共有个数，即第段中最大数为；于是第19段中的最大数为，则第20段中第18个数为.3.函数的值域是_.答案：解：因，；又据，令，则，即，视为的二次方程，其判别式，得，因，所以.另解：，令，则，所以，即，因，则.4.若正整数使得恒介于与之间，则_.答案：4解：当为正整数时，易知，由，得；由，得，所以，此区间长度为1，其中只有唯一的整数4，所以.5.若双曲线的两个焦点分别是椭圆的两个顶点，而双曲线的两条准线分别通过椭圆的两个焦点，则双曲线的方程是_.答案：解：椭圆的长轴顶点为，则其焦点在轴上，用，分别表示，的半焦距，则，而，；所以椭圆焦点为，所以双曲线的实轴为轴，设其方程为，由，所以，因此双曲线的方程是.6.计算的值为_.答案：解：记，则，所以，.7.四面体中，有一条棱长为3，其余五条棱长皆为2，则其外接球的半径为_.答案：解：设，分别是，的中点，在面上的射影应是的外心，由于上的任一点到，等距，则外接球心在上，因，所以，于是为的中垂线，所以球心是，的交点，且是等腰的垂心，记球半径为，由，得，而，所以.8.在一张印有4月29日的生日贺卡上，某位小朋友在4与29之间添加了两个正整数，得到一个五位数，结果发现它恰好是自己的生日所对应的正整数的平方：；则这位小朋友生日对应的数_.答案：223解：由于，而，所以，又因的末位数为9，所以的末位数是3或7；在200与225之间，这种数共有5个：203，207，213，217，223；验算知，只有，因此。（对应的日期是2月23日）二、解答题（16分）求解函数的最大最小值.解：易知函数定义域为全体实数，由于，令，则，所以，因此；当时，函数分别取得最大、最小值.三、解答题（20分）如图，圆内接四边形中，自的中点，作，为垂足：证明：过线段的中点.证：在线段，上分别取点，使，则四点共圆（以点为该圆的圆心），所以，于是，则，设垂足为，于是为的中点（圆心至圆弦的垂线，平分该弦），这样，为四边形四条边的中点，因此为平行四边形，故其对角线互相平分，即过线段的中点.四、解答题（20分）已知正整数的各位数字中，共含有个1，个2，个9，证明：，并确定使等号成立的条件。证：对正整数的位数使用数学归纳法，当时，显然所证式成立等号，这是由于，此时数的十进制表达中只有一位数字，也就是，其余，于是，左右。设在时结论已成立，则当时，据带余数除法，存在，使，如果，则数的十进制表达式中，其余，显然有.若，设的各位数字中，含有个1，个2，个9，则的各位数字中，含有个，个，据归纳假设，对有，所以.即当时结论成立，由归纳法，对一切正整数，结论皆成立.欲使等号成立，由证明