【状元之路】2015高考数学(人教A版-文)一轮开卷速查：5-7解三角形应用举例

开卷速查规范特训课时作业实效精炼开卷速查(26)解三角形应用举例一、选择题1如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa kmB.a kmC.a km D2a km解析：利用余弦定理解ABC.易知ACB120，在ACB中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos1202a22a23a2，ABa.答案：B2张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A2 km B3 kmC3 km D2 km解析：如图，由条件知AB246，在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，所以ASB45.由正弦定理知，所以BSsin303.答案：B3轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是()A35海里 B35海里C35海里 D70海里解析：设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E、F，则依题意有CE25250，CF15230，且ECF120，EF70.答案：D4为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，那么塔AB的高度是()A20 m B20 mC20(1) m D30 m解析：如图所示，由已知可知，四边形CBMD为正方形，CB20 m，所以BM20 m又在RtAMD中，DM20 m，ADM30，AMDMtan30(m)ABAMMB2020(m)答案：A5线段AB外有一点C，ABC60，AB200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始多少h后，两车的距离最小()A. B1C. D2解析：如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD80t，BE50t.因为AB200，所以BD20080t，问题就是求DE最小时t的值由余弦定理，得DE2BD2BE22BDBEcos60(20080t)22 500t2(20080t)50t12 900t242 000t40 000.当t时，DE最小. 答案：C6已知A船在灯塔C北偏东80处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40处，A，B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为()A1 km B2 kmC3 km D(1) km解析：如图，由题意可得，ACB120，AC2，AB3.设BCx，则由余弦定理可得AB2BC2AC22BCACcos120，即3222x222xcos120，整理得x22x5，解得x1(负值舍掉)答案：D7一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m解析：设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.答案：A8如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30米至C处，测得其顶端A的仰角为2，再继续前进10米至D处，测得其顶端A的仰角为4，则的值为()A15 B10C5 D20解析：因为ACE2，所以BAC，ACBC30，因为ADE4，所以CAD2，所以ADCD10，在ACD中，2CDcos2AC，所以cos2，所以230，所以15.答案：A9某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为()A. B2C.或2 D3解析：如图所示，设此人从A出发，则ABx，BC3，AC，ABC30，由余弦定理得()2x2322x3cos30，整理，得x23x60，解得x或2.答案：C10一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10海里 B10海里C20海里 D20海里解析：如图，易知，在ABC中，AB20，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)答案：A二、填空题11一船由B处向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔C、D恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后到达A处，看见灯塔C在它的南偏西60方向，灯塔D在它的南偏西75方向，则这艘船的速度是_海里/小时解析：如图所示，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在直角三角形ABC中，得AB5，于是这艘船的速度是10(海里/小时)答案：1012某路边一树干被大风吹断后，折成与地面成45角，树干也倾斜为与地面成75角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是_米解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则ABO45，AOB75，OAB60.由正弦定理知，AO(米)答案：13在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120，若要光源恰好照整个广场，则光源的高度为_m.解析：轴截面如图，则光源高度h5(m)答案：514在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且POQ90，再过一分钟，该物体位于R点，且QOR30，则tanOPQ的值为_解析：由于物体做匀速直线运动，根据题意，PQQR，不妨设其长度为1.在RtPOQ中，OQsinOPQ，OPcosOPQ，在OPR中，由正弦定理得，在ORP中，两式两边同时相除得tanOPQ.答案：三、解答题15某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC、ABD，经测量ADBD14，BC10，AC16，CD.(1)求AB的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计建造费用最低？请说明理由解析：(1)在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosC16210221610cosC，在ABD中，由余弦定理及CD，整理得AB2AD2BD22ADBDcosD1421422142cosC.由得：1421422142cosC16210221610cosC，整理得cosC.C为三角形的内角，C60，又CD，ADBD，ABD是等边三角形，故AB14，即A、B两点的距离为14.(2)小李的设计使建造费用最低理由如下：SABDADBDsinD，SABCACBCsinC.ADBDACBC，且sinDsinC，SABDSABC.由已知建造费用与用地面积成正比，故选择小李的设计使建造费用最低答案：(1)14；(2)小李的设计建造费用最低，理由略162013江苏如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cosA，cosC.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解析：(1)在ABC中，因为cosA，cosC，所以sinA，sinC.从而sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinC.由正弦定理，得ABsinC1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t) m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，因0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BCsinA500(m)乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内答案：(1)1 040 m；(2) (min)；(3)应控制在(单位：m/min)范围内创新试题教师备选教学积累资源共享教师用书独具12014台州模拟某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处于坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌长度约为50秒，升旗手应以多大的速度匀速升旗？解析：在BCD中，BDC45，CBD30，CD10，由正弦定理，得BC20.在RtABC中，ABBCsin602030(米)，所以升旗速度v0.6(米/秒)2如图，A、B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？解析：由题意，知AB5(3)海里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB中，由正弦定理，得，于是DB10(海里)又DBCDBAABC3