数值分析第一章ppt课件

.,第一章数值分析与科学计算引论,.,1.1数值分析对象、作用与特点,许多科学问题的解决都离不开科学计算。本门课程将着重绍进行科学计算所必须掌握的一些最基本、最常用的算法,并分析其误差。,数值分析包括：函数的数值逼近；数值积分与数值微分；非线性方程的数值解法；数值线性代数；微分方程的数值解法。,.,1.2数值计算的误差,1.来源与分类/*Source&Classification*/,从实际问题中抽象出数学模型模型误差/*ModelingError*/,通过测量得到模型中参数的值观测误差/*MeasurementError*/,求近似解方法误差(截断误差/*TruncationError*/),机器字长有限舍入误差/*RoundoffError*/,数值分析讨论后两个误差。,.,2.误差与有效数字,1.2数值计算的误差,绝对误差/*absoluteerror*/,其中x为精确值，x*为x的近似值。,相对误差/*relativeerror*/,x的相对误差上限/*relativeaccuracy*/定义为,.,有效数字/*significantdigits*/,用科学计数法，记（其中）。若（即的截取按四舍五入规则），则称为有n位有效数字，精确到。,1.2数值计算的误差,.,有效数字与相对误差的关系,有效数字相对误差限,已知x*有n位有效数字，则其相对误差限为,1.2数值计算的误差,.,相对误差限有效数字,1.2数值计算的误差,.,例：为使的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？,解：假设*取到n位有效数字，则其相对误差上限为,要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足,已知a1=3，则从以上不等式可解得n6log6，即n6，应取*=3.14159。,1.2数值计算的误差,.,分析：e*(y)=f(x*)f(x)e*(x)=x*x,=f()(x*x),x*与x非常接近时，可认为f()f(x*)，则有：|e*(y)|f(x*)|e*(x)|,即：x*产生的误差经过f作用后被放大/缩小了|f(x*)|倍。故称|f(x*)|为放大因子/*amplificationfactor*/或绝对条件数/*absoluteconditionnumber*/.,问题：对于y=f(x)，若用x*取代x，将对y产生什么影响？,1.2数值计算的误差,.,例:计算y=lnx。若x20，则取x的几位有效数字可保证y的相对误差0.1%?,解：设截取n位有效数字后得x*x，则,n4,估计x和y的相对误差上限满足近似关系,1.2数值计算的误差,.,算法的数值稳定性,用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中传播使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不稳定的.,1.3避免误差危害的若干原则,.,病态问题与条件数,对一个数值问题本身,如果输入数据有微小扰动（即误差），引起输出数据（即问题解）相对误差很大，这就是病态问题.,例如计算函数值时，,函数值的相对误差为,1.3避免误差危害的若干原则,.,（3.3）,称为计算函数值问题的条件数.,相对误差比值,自变量相对误差一般不会太大，如果条件数很大，,将引起函数值相对误差很大，出现这种情况的问题就是病态问题.,1.3避免误差危害的若干原则,.,例如，,它表示相对误差可能放大倍.,如，,有，,自变量相对误差为，,函数值相对误差为，,一般情况下,条件数就认为是病态，越大病态越严重.,则有,若取,这时问题可以认为是病态的.,1.3避免误差危害的若干原则,.,1.避免相近二数相减,2.避免小分母:分母小会造成浮点溢出,3.避免大数吃小数,4.先化简再计算，减少步骤，避免误差积累,5.选用稳定的算法,1.3避免误差危害的若干原则,.,算法设计的好坏不但影响计算结果的精度，还可以大量节省计算时间.,1.4数值计算中算法设计的技术,一个计算问题如果能减少运算次数，不但可以及减少计算量还可以减少误差，这是算法设计中一个重要原则.,多项式求值的秦九韶算法,.,可表示为,（4.1）,1.4数值计算中算法设计的技术,.,1.4数值计算中算法设计的技术,.,此处,例11设，用秦九韶算法求和的值.,则,（4.1）,解用（4.1）和（4.2）式构造出计