一元一次不等式方程组困难应用题

1 一元一次不等式方程组困难应用题一元一次不等式方程组困难应用题 一、某水产品市场管理部门规划建造面积为 2400 平方米的大棚，大棚内设 A 种类型和 B 种 类型的店面共 80 间，每间 A 种类型的店面的平均面积为 28 平方米，月租费为 400 元，每 间 B 种类型的店面的平均面积为 20 平方米，月租费为 360 元，全部店面的建造面积不低 于大棚总面积的 85%。 （1）试确定 A 种类型店面的数量？ （2）该大棚管理部门通过了解，A 种类型店面的出租率为 75%，B 种类型店面的出租率为 90%，为使店面的月租费最高，应建造 A 种类型的店面多少间？ 解：设 A 种类型店面为 a 间，B 种为 80-a 间 根据题意 28a+20（80-a）240085% 28a+1600-20a2040 8a440 a55 A 型店面至少 55 间 设月租费为 y 元 y=75%a400+90%（80-a）360 =300a+25920-324a =25920-24a 很明显，a55，所以当 a=55 时，可以获得最大月租费为 25920-24x55=24600 元 二、水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到情况： 1、每亩地水面组建为 500 元，。 2、每亩水面可在年初混合投放 4 公斤蟹苗和 20 公斤虾苗； 3、每公斤蟹苗的价格为 75 元，其饲养费用为 525 元，当年可或 1400 元收益； 4、每公斤虾苗的价格为 15 元，其饲养费用为 85 元，当年可获 160 元收益； 问题： 1、水产养殖的成本包括水面年租金，苗种费用和饲养费用，求每亩水面虾蟹混合养殖 的年利润（利润=收益成本）； 2、李大爷现有资金 25000 元，他准备再向银行贷款不超过 25000 元，用于蟹虾混合养 殖，已知银行贷款的年利率为 10，试问李大爷应租多少亩水面，并向银行贷款多少元， 可使年利润达到 36600 元？ 解：1、水面年租金=500 元 苗种费用=75x4+15x20=300+300=600 元 饲养费=525x4+85x20=2100+1700=3800 元 2 成本=500+600+3800=4900 元 收益 1400 x4+160 x20=5600+3200=8800 元 利润（每亩的年利润）=8800-4900=3900 元 2、设租 a 亩水面，贷款为 4900a-25000 元 那么收益为 8800a 成本=4900a25000+25000 4900a50000 a50000/490010.20 亩 利润=3900a-（4900a-25000）10% 3900a-（4900a-25000）10%=36600 3900a-490a+2500=36600 3410a=34100 所以 a=10 亩 贷款（4900 x10-25000）=49000-25000=24000 元 三、某物流公司，要将 300 吨物资运往某地，现有 A、B 两种型号的车可供调用，已知 A 型 车每辆可装 20 吨，B 型车每辆可装 15 吨，在每辆车不超载的条件下，把 300 吨物资装运 完，问：在已确定调用 5 辆 A 型车的前提下至少还需调用 B 型车多少辆? 解：设还需要 B 型车 a 辆，由题意得 205+15a300 15a200 a40/3 解得 a13 又 1/3 由于 a 是车的数量，应为正整数，所以 x 的最小值为 14 答：至少需要 14 台 B 型车 四、某城市平均每天产生生活垃圾 700 吨，全部由甲，乙两个垃圾厂处理，已知甲厂每小 时处理垃圾 55 吨，需费用 550 元；乙厂每小时处理垃圾 45 吨，需费用 495 元。如果规定 该城市处理垃圾的费用每天不超过 7370 元，甲厂每天至少需要处理垃圾多少小时? 解：设甲场应至少处理垃圾 a 小时 550a+（700-55a）454957370 550a+（700-55a）117370 550a+7700-605a7370 33055a a6 3 甲场应至少处理垃圾 6 小时 五、学校将若干间宿舍分配给七年级一班的女生住宿，已知该班女生少于 35 人，若每个房 间住 5 人，则剩下 5 人没处可住；若每个房间住 8 人，则空出一间房，并且还有一间房也 不满。有多少间宿舍，多少名女生？ 解：设有宿舍 a 间，则女生人数为 5a+5 人 根据题意 a0(1) 05a+535（2） 05a+5-8（a-2）8(3) 由（2）得 -55a30 -1a6 由（3） 05a+5-8a+168 -21-3a-13 13/3a7 由此我们确定 a 的取值范围 4 又 1/3a6 a 为正整数，所以 a=5 那么就是有 5 间宿舍，女生有 55+5=30 人 六、某手机生产厂家根据其产品在市场上的销售情况，决定对原来以每部 2000 元出售的一 款彩屏手机进行调价，并按新单价的八折优惠出售，结果每部手机仍可获得实际销售价的 20%的利润（利润=销售价成本价）.已知该款手机每部成本价是原销售单价的 60%。 （1）求调整后这款彩屏手机的新单价是每部多少元？让利后的实际销售价是每部多少元？ 解：手机原来的售价=2000 元/部 每部手机的成本=200060%=1200 元 设每部手机的新单价为 a 元 a80%-1200=a80%20% 0.8a-1200=0.16a 0.64a=1200 a=1875 元 让利后的实际销售价是每部 187580%=1500 元 （2）为使今年按新单价让利销售的利润不低于 20 万元，今年至少应销售这款彩屏手机多 少部？ 4 20 万元=元 设至少销售 b 部 利润=150020%=300 元 根据题意 300b b2000/3667 部 至少生产这种手机 667 部。 七、我市某村计划建造 A,B 两种型号的沼气池共 20 个，以解决该村所有农户的燃料问题. 两种型号的沼气池的占地面积，使用农户数以及造价如下表： 型号 占地面积（平方米/个） 使用农户数（户/个） 造价（万元/个） A 15 18 2 B 20 30 3 已知可供建造的沼气池占地面积不超过 365 平方米，该村共有 492 户. （1）.满足条件的方法有几种？写出解答过程. （2）.通过计算判断哪种建造方案最省钱？ 解: (1) 设建造 A 型沼气池 x 个，则建造 B 型沼气池(20x )个 18x+30(20-x) 492 18x+600-30 x492 12x108 x9 15x+20(20-x)365 15x+400-20 x365 5x35 x7 解得：7 x 9 x 为整数 x = 7，8 ，9 ，满足条件的方案有三种 (2)设建造 A 型沼气池 x 个时，总费用为 y 万元，则： y = 2x + 3( 20x) = x+ 60 15 由（2） 3a+8-5a+50 2a13 a6.5 那么 a 的取值范围为 5=大于等于2x 则 x7 元， 的价钱，多的路程也要收超过比，但超过不足且kmkmkmkm9899 2 . 1 7 8 . 17 9 设甲地到乙地的路程为 xkm，则有 9585x 解：解：设甲地到乙地的路程为 xkm，依题得 2 . 1 78 .17 51 2 . 1 7 8 . 17 5 x 1413 95195 x x即 答：答：从甲地到乙地的路程大约为大于 13km 且不超过 14km。 例 3. 每期初中生发下来后，小刚都认真阅读，他如果每天读 5 页，9 天读不完，第 10 天剩不足 5 页，如果他每天读 23 页，那么 2 天读不完，第 3 天剩不足 23 页，试问初 中生每期有多少页？（页数为偶数） 分析：分析：“读不完”指的是有一部分未读， “不足”指的是“少于”的意思。 解：解：设初中生每期有 x 页，依题意得 23223223 59595 x x 69 46 50 45 x x x x 即可得 485046xx页数为偶数， 答：答：初中生每期有 48 页。 例 4. 根据下列条件，设适当的未知数列出二元一次方程或二元一次方程组。 （1）甲数的 8%与乙数的 10%的和是甲、乙两数的和的 9%。 （2）火车的速度是汽车速度的 3 倍，它们的速度之和为 380km/h。 （3）甲、乙两个玩具进价一共 55 元，甲玩具售出亏 10%，乙玩具售出赚 20%，一共 卖得 65 元。 分析：分析：找出每个小题的未知的量是指什么，有几个等量关系，则可列出几个方程，如 果有 2 个未知数，只有一个等量关系则只能列出一个二元一次方程，如果有 2 个等量关系， 则可列方程组。 解：解：（1）设甲数为 x，乙数为 y，则依题得： )%(9%10%8yxyx （2）设汽车速度为 x km/h，火车速度为 y km/h，依题得： 380 3 yx xy （3）设甲玩具进价为 x 元，乙玩具进价为 y 元，依题意得 65%120%90 55 yx yx 例 5. 某工厂向银行贷款甲、乙两种，共计 40 万元，每年付利息 2.95 万元，甲种贷款 年利率为 7%，乙种贷款年利率为 8%，求两种贷款各多少万元？ 10 分析：分析：找到两个等量关系，甲贷款乙贷款40 万元 甲贷款利息乙贷款利息2.95 万元 解：解：设向银行贷款甲、乙两种分别为 x 万元，y 万元，依题意得 95 . 2 %8%7 40 yx yx 解之得 15 25 y x 答：答：甲、乙两种贷款分别为 25 万元，15 万元。 例 6. （探究题）到某一旅游点的门票价格规定如下表： 购票人数150 人51100 人100 人以上 每人门票价5 元4.5 元4 元 某校初一甲、乙两班共 103 人（其中甲班人数多于乙班人数）去这一旅游点旅游，如 果两班都以班为单位分别购票，一共要付 486 元。 （1）如果两班联合起来，作为团体购票则可节约多少钱？ （2）两班各有多少学生？ 分析：分析：要求两班各有多少人，也就是有 2 个未知数，要找两个等量关系：甲班人数 乙班人数103，甲班以班为单位付门票钱乙班以班为单位付门票钱486，但是付门票 钱的规格有三种，由于甲班人数多于乙班人数，设甲班人数为 x 人，乙班人数为 y 人，由 于 xy，x+y=103，则可能出现第一种情况，51x100，1y50 第二种，51x100，51y100 第三种，x100，1y50 不可能出现，x100，y100 或 1x50，1y50 分三种情况列方程组。 解：解：（1）486410374（元） ，可以节约 74 元。 （2）设甲班学生有 x 人，乙班学生有 y 人，由于 xy，x+y=103 a. 若 51x100，1y50，则得 48655 . 4 103 yx yx 45 58 y x 解得 b. 若 51x100，51y100，则得 无整数解 4865 . 45 . 4 103 yx yx c. 若 x100，1y50，则得 74 29 48654 103 y x yx yx 解之 与 x100 及 1y50 矛盾。 故甲班学生人数为 58 名，乙班学生人数为 45 名。 11 例 7. 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个粗细相同的进水管，当 打开 4 个进水管时，需 5 小时注满水池，当打开 2 个进水管时，需 15 小时才能注满水池， 现要在 4 小时将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？ 分析：分析：进水管每小时的注水量，排水管每小时的排水量都不知道，若想在 4 小时将水 池注满，要打开多少个进水管也不知道，这道题涉及三个未知量，只求一个未知量列方程 组求解时可以消去其他二个未知量。 解：解：设每个进水管 1 小时的注水量为 a，排水管 1 小时的排水量为 b，若想在 4 小时内 注满水池，要打开 x 个进水管，依题意得 5)4(4)( 15)2(5)4( babax baba 由得，4a-b=6a-3b 则 a=b 把代入得 aax aaax aaaax 194 1544 5)4(4)( 4 3 4 4 19 a a x 由于水管的个数不能为分数，所以至少打开 5 个进水管，才能在 4 小时内将水池注满。 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：30 分钟） 1. 某商店以每台 7000 元的进价购进一批电脑，希望获毛利（毛利销售价进价）不 少于 600 元，但上级规定不得超过销售价的 20%，求这批电脑的销售价应定在什么范围内？ 2. 幼儿园玩具若干件，分给小朋友玩，每人分 3 件，还余 77 件，若每人分 5 件，那么 最后一个人得到的少于 5 件，求这所幼儿园有多少玩具？多少小朋友？ 3. 乘某城市的一种出租车起价 10 元， （在 5km 以内）达到或超过 5km 后，每增加 1km 加 价 1.2 元， （不足 1km 部分按 1km 算） ，现在某人乘这种出租车从甲地到乙地支付车费 17.2 元，从甲地到乙地路程有多远？ 4. 甲、乙两商店共有练习本 200 本，某日甲店售出 19 本，乙店售出 97 本，甲、乙两店 所剩练习本数相等，则甲乙两店有练习本各多少本？ 5. 两个骑自行车的人沿着成圆圈形的跑道用不变的速度行驶，当他们按相反的方向骑的 时候，每 20 秒钟相遇 1 次，如果按同方向骑，那么每 100 秒有一个人追上另一个人，假定 圆圈跑道长为 400 米，问各人的速度为多少？ 6. 某服装厂要生产一批同样型号的运动服，已知每 3 米长的某种布料可做 2 件上衣或 3 条裤子，现有此种布料 600 米，请你帮助设计一下，该如何分配布料，才能使运动服成套 而不浪费，能生产多少套运动服？ 12 【试题答案试题答案】 1. 不少于 7600 元，不多于 8750 元 2. 有 39 人，玩具 194 件，或有 40 人，玩具 197 件，或有 41 人，玩具 200 件。 3. 大于或等于 10km 且小于 11km 4. 甲店有 61 本，乙店有 139 本 5. 12 米/秒，8 米/秒 6. 360 米做上衣，240 米做裤子，共能生产 240 套运动服。 一次方程及一次不等式应用题 精华典型类型训练题 表格残缺及题目信息选择 1今年 5 月 12 日，四川汶川发生了里氏0 . 8级大地震，给当地人民造成了巨大的损 失 “一方有难，八方支援” ，我市某中学全体师生积极捐款，其中九年级的 3 个班学生的 捐款金额如下表： 班级（1）班（2）班（3）班 金额（元） 2000 刘老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息： 信息一：这三个班的捐款总金额是 7700 元； 信息二：（2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多 300 元； 信息三：（1）班学生平均每人捐款的金额大于 48 元，小于 50 元 请根据以上信息，帮助刘老师解决下列问题： （1）求出（2）班与（3）班的捐款金额各是多少元； （2）求出（1）班的学生人数 特殊到一般的引导式类型 2惊闻 5 月 12 日四川汶川发生强烈地震后，某地民政局迅速地组织了 30 吨食物和 13 吨衣物的救灾物资，准备于当晚用甲、乙两种型号的货车将它们快速地运往灾区.已知 甲型货车每辆可装食物 5 吨和衣物 1 吨，乙型货车每辆可装食物 3 吨和衣物 2 吨，但由于 时间仓促，只招募到 9 名长途驾驶员志愿者来源:Z.xx.k.Com （1） 3 名驾驶员开甲种货车，6 名驾驶员开乙种货车，这样能否将救灾物资一次性地运往灾区？来源: （2）要使救灾物资一次性地运往灾区，共有哪几种运货方案？ 一般到特殊的引导式类型 3 3 （20112011 山东东营）山东东营） 如图所示的矩形包书纸中，虚线是折痕， 阴影是裁剪掉的部分，四个角均为大小相同的正方形，正方形 的边长为折叠进去的宽度. （1）设课本的长为a cm，宽为b cm，厚为c cm，如 （第 22 题图） 封面 封底 13 果按如图所示的包书方式，将封面和封底各折进去 3cm，用含a，b，c的代数式，分别表 示满足要求的矩形包书纸的长与宽； （2）现有一本长为 19cm，宽为 16cm，厚为 6cm 的字典，你能用一张长为 43cm，宽为 26cm 的矩形纸，按图所示的方法包好这本字典，并使折叠进去的宽度不小于 3cm 吗？请说 明理由. 关联前提及不等号反向 4 4 （20112011 福建三明）福建三明）星光五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售，若每 个甲零件的进价比每个乙种零件的进价少 2 元，且用 80 元购进甲种零件的数量与用 100 元 购进乙种零件的数量相同。 （1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？（5 分） （2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的 3 倍还少 5 个， 购进两种零件的总数量不超过 95 个，该将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后， 可使销售两种零件的销售价格为 15 元，则将本次购进的甲、乙两种全部售出后， 可使销售两种零件的总利润（利润=售价进价）超过 371 元，通过计算求出星光 五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来。 （7 分） 借助函数增减性确定方案最优 5 5 （20112011 云南楚雄）云南楚雄）今年四月份，李大叔收获洋葱 30 吨，黄瓜 13 吨现计划租用甲、乙 两种货车共 10 辆将这两种蔬菜全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装洋葱 4 吨和黄瓜 1 吨，一辆乙种货车可装洋葱和黄瓜各 2 吨 （1）李大叔安排甲、乙两种货车时有几种方案.请你帮助设计出来； （2）若甲种货车每辆要付运费 2000 元，乙种货车每辆付运费 1300 元，请你帮助李大叔算 一算应选哪种方案，才能使运费最少？最少运费是多少？ 1、调配问题中方案确定法之列枝状图和构建不等式组 2、整式大小比较 6、 （2011攀枝花）某经营世界著名品牌的总公司，在我市有甲、乙两家分公司，这两家公 司都销售香水和护肤品总公司现香水 70 瓶，护肤品 30 瓶，分配给甲、乙两家分公司， 其中 40 瓶给甲公司，60 瓶给乙公司，且都能卖完，两公司的利润（元）如下表 （1）假设总公司分配给甲公司 x 瓶香水，求：甲、乙两家公司的总利润 W 与 x 之间的函数 关系式； （2）在（1）的条件下，甲公司的利润会不会比乙公司的利润高？并说明理由； （3）若总公司要求总利润不低于 17370 元，请问有多少种不同的分配 方案，并将各种方 案设计出来 每瓶香水利润每瓶护肤品利润 甲公司 180200 乙公司 160150 等式及不等式混合组问题 7 7 （20112011 湖北随州）湖北随州）黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司 70 名职工组团前往参观欣赏，旅 游景点规定：门票每人 60 元，无优惠；上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座 和十一座车，四座车每辆 60 元，十一座车每人 10 元.公司职工正好坐满每辆车且总费 用不超过 5000 元，问公司租用的四座车和十一座车各多少辆？ 14 建不等式组条件的挖掘 8 8 （20112011 山东青岛）山东青岛）某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用 35 座客车若 干辆，则刚好坐满；若单独租用 55 座客车，则可以少租一辆，且余 45 个空座位 （1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数； （2）已知 35 座客车的租金为每辆 320 元，55 座客车的租金为每辆 400 元根据租车 资金不超过 1500 元的预算，学校决定同时租用这两种客车共 4 辆（可以坐不满可以坐不满） 请你计 算本次社会实践活动所需车辆的租金 练习巩固练习巩固 （20112011 江苏宿迁）江苏宿迁） （本题满分 12 分）某花农培育甲种花木 2 株，乙种花木 3 株，共需成本 1700 元；培育甲种花木 3 株，乙种花木 1 株，共需成本 1500 元 （1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？ （2）据市场调研，1 株甲种花木售价为 760 元， 1 株乙种花木售价为 540 元该花农 决定在成本不超过 30000 元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花 木的 3 倍还多 10 株,那么要使总利润不少于 21600 元，花农有哪几种具体的培育方案？ -1设（2）班与（3）班的捐款金额各是yx,元， 据题意得： 77002000 300 yx yx 解得： 2700 3000 y x 答：设（2）班与（3）班的捐款金额各是3000元和2700元 再设（1）班的学生人数为z人，据题意得： 200050 200048 z z 解得： 40 66.41 z z z为正整数，所以41z答: （1）班的学生人数为41人 -2 （1）30333653 13152613 所以 3 名驾驶员开甲种 货车，6 名驾驶员开乙种货车，这样能将救灾物资一次性地运往灾区 （2）设x名驾驶员开甲种货车，y名驾驶员开乙种货车，据题意得： 132 3035 9 yx yx yx 当9 yx时，xy 9代入得： 13)9(2 30)9(35 xx xx 解得：5 2 3 x； . 4 , 5; 5, 4; 6, 3; 7, 2yxyxyxyx 当当8 yx时，时，xy 8代入得：代入得： 13)8(2 30)8(35 xx xx 解得： 3 3 x x 所以3x当5, 3yx时，也能完成任务当7 yx，不等式组无正整数解 15 综上，共有 5 种运货方案 -3答案答案解：（1）矩形包书纸的长为：（2b+c+6）cm，2 分 矩形包书纸的宽为（a+6）cm.4 分 (2)设折叠进去的宽度为xcm，5 分 分两种情况： 当字典的长与矩形纸的宽方向一致时，根据题意， 得7 分 解得x2.5. .4326216 ,26219 x x 所以不能包好这本字典.8 分 当字典的长与矩形纸的长方向一致时，同理可得 x-6. 所以不能包好这本字典.9 分 综上，所给矩形纸不能包好这本字典.10 分 -4（1）设每个乙种零件进价为 x 元，则每个甲种零件进价为（x-2）元， 依题意得 解得3 分 xx 100 2 80 10x 经检验 x=10 是方程的解，10-2=84 分 答：甲种零件进价为 8 元，乙种零件进价为 10 元5 分 （2）设购进乙种零件为 y 个，则购进甲种零件（3y-5）个，依题意得6 分 解得9 分 371)1015()53)(815( 9553 yy yy 2523 y y 为整数 y=24 或 25 共 2 种方案10 分 分别是：方案一，购进甲种零件 67 个，乙种零件 24 个11 分 方案二：购进甲种零件 70 个，乙种零件 25 个12 分 -5 解：设李大叔安排甲种货车辆，则乙种货车（）辆依题x10 x 解得 42(10)30 2(10)13 xx xx 57x 2）W= -6 分析：（1）设总公司分配给甲公司 x 瓶香水，用 x 表示出分配给甲公司的 护肤品瓶数、乙公司的香水和护肤品瓶数，根据已知列出函数关系式 （2）根据（1）计算出甲、乙公司的利润进行比较说明 （3）由已知求出 x 的取值范围，通过计算得出几种不同的方案 解答：解：（1）依题意，甲公司的护肤品瓶数为：40x， 乙公司的香水和护肤品瓶数分别是：70x，30（40x）=x10 w=180 x+200（40x）+160（70x）+150（x10）=30 x+17700 故甲、乙两家公司的总利润 W 与 x 之间的函数关系式 w=30 x+17700 （2）甲公司的利润