一元函数微分学

第二章 一元函数微分学目的要求 导数与微分是高等数学的基本内容，也是许多学科研究的理论基础，它不仅用于研究函数的各种性态以及函数值的计算，亦是解决实际问题普遍利用的有效工具，因此要求： .理解导数概念、了解微分概念. .掌握求导数的运算法则，会求一些函数的导数与微分。 .理解微分中值定理，知道其几何解释.掌握用一阶和二阶导数证明的方法。.会利用这些概念、性质、基本理论讨论函数的特性、会求不定式极限、极值。知识要点与重点内容例题分析选讲知识要点与重点1：导数的概念及其计算1.导数的概念：从平均变化率到瞬时变化率。2.导数的几何意义 导数也为函数关系的“数”与“形”的转换搭建了桥梁，是函数曲线的切线斜率。3.当函数以空间变量为自变量时，如以长度、体积等为自变量，则关于空间变量的导数称为梯度（gradient），是函数变量在空间分布的集中或稀疏程度的变化率，如化学气体浓度梯度、电磁信号强弱梯度、人口密度梯度。4.导数与连续性的联系 如果函数在处可导，则必在处连续，但反之未必。5复合函数求导法则 对于复合函数，若以外层函数皆是可导函数时， 。复合函数求导是这一节中重中之重，难中之难。但是，复合函数的求导又是有章可循的：（1）尽可能细致的分解复合函数的变量传递关系，注意哪些环节是符合运算，那些环节是四则运算；如有需要，逐个引入中间变量；（2）对于复合运算，只需依照符合顺序展开求导运算（类似串联电路），从外层函数做到内层函数，认真区分每一步应该用哪一种基本初等函数的求导公式；6.隐函数的求导函数表示两个变量和之间的对应关系，其特点是：等号左端是因变量，而右端是含有自变量的表达式。用这种方式表示的函数叫做显函数。在二元方程中，当取区间I内的任一值时，相应的总有满足该方程的唯一的值存在，那么方程在区间I内确定了一个函数。典型例题：1.求的导数。解 两边对求导，注意到是的函数， 例 设函数为偶函数且存在，试证证 当，则有为偶函数，从而存在，必有，所以，即证=0%证明不等式 证：设，则区间上，根据拉格朗日中值定理，在内至少存在一点使即又 因为所以所以知识要点与重点2：导数的应用1函数单调性的判别方法：定理1 设在上连续，在内可导，则在上单调增（或减）的充要条件是 （或） 2函数的极值的判定：定理2 （第一充分条件判定定理） 设函数在的临域内连续，在内可导，是临界点。（1）若从的左临域渐增地通过到的右临域取值时，的符号由正变负，则在点取得最大值，点为极大值点。（2）若从的左临域渐增地通过到的右临域取值时，的符号由负变正，则在点取得最小值，点为极小值点。（3）若从的左临域渐增地通过到的右临域取值时， 不变号，则在点不取得极值，点不是极值点。3定理3（第二充分条件判定法）设在点处具有二阶导数且=0，那么(1)当0时，在点取得极小值。4函数的凹凸性的判断法：定理1 设函数在内具有二阶导数，则在该区间内（1）当0时，曲线是凹的；（2）当0,证明 f(x0)是f(x)的极小值证：由于0，0，由二阶导数的定义，有0，于是存在x0的一个邻域内，成立下式0，xx0当由左及右经过x0时，f(x)由负变正。由定理8，f(x)在x0取得极小值。2 试问a、b为何值时，点P(1,3)为曲线的拐点？解： 解之得a=-3/2 , b=9/23证明曲线有位于同一直线上的三个拐点？解：可验证（-1，-1），（是曲线的三个拐点 下面论证此三点位于同一直线上，事实上，只需证明过任意两点的直线的斜率相同即可故 k1=k2,得证4肌注或血药服药物后，血药浓度随时间变化的曲线为，试求出出现浓度最大和最小浓度变化率的时刻？解：(1) =122（-0.18e-0.18t+e-t） 令=0,解得唯一驻点t1=(-ln0.18)/0.82此驻点即为最值点，故在t1=(-ln0.18)/0.82时刻血药浓度最大 (2) =122(0.182e-0.18t-e-t) 令=0解得唯一驻点t2=(-ln0.18)/0.41此驻点即为函数的最值点。故在t2=(-ln0.18)/0.41时刻血药浓度变化