曲线积分和曲面积分_第1页
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文档简介

曲线积分和曲面积分,曲线积分,曲面积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,定义,计算,定义,计算,（一）曲线积分与曲面积分,一、主要内容,曲面积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,定义,性质,计算公式,曲面积分,Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系,推广,推广,定积分,曲线积分,重积分,曲面积分,计算,计算,计算,Green公式,Stokes公式,Guass公式,（二）各种积分之间的联系,关于对称性,对面积的曲面积分与侧无关，具有与三重积分相类似的奇偶性,你对称，我奇偶,积分曲面对称于坐标面，被积函数关于另一个变量具有奇偶性,对坐标的曲面积分的对称性比较复杂，一般不直接使用，可利用两类曲面积分之间的关系先化为对面积的曲面积分，再使用对称性,关于对面积的曲面积分的应用,曲面面积,曲面质量,重心坐标,转动惯量,二、典型例题,例1求椭圆柱面,位于xoy面上方,和平面z=y下方的那部分的侧面积,解一,易见曲面对称于yoz面,解二,对弧长的曲线积分的几何意义：,柱面上的曲边梯形的面积,侧面积,注,曲面面积的计算法,曲顶柱体的表面积,如图曲顶柱体，,例2计算,及平面z=1,z=2所围立体的表面的外侧,解一,由Gauss公式,解二,上侧,下侧,外侧,（用极坐标）,解,由对称性,例4计算,所截下的部分,解,积分曲面关于yoz面、zox面对称,被积函数|xyz|关于x和y是偶函数,由对称性,例5计算,解,由对称性,例6计算,绕z轴旋转所成的曲面的下侧,解,补上曲面,取上侧,则由Gauss公式,例7,解,利用两类曲面积分之间的关系,向量点积法,例8,解,利用向量点积法,解,(如下图),例10计算,的外表面,解一,先计算,下侧,上侧,同理,解二,由Gauss公式,=0（用对称性）,例11计算曲面积分,解,考虑使用Gauss公式,但从几何上看，积分曲面是一个开口朝下的“碗”扣在xoy坐标面上，与xoy坐标面的截痕为,故曲面不封闭，应用z=0（下侧）封住碗口,但要注意,在（0，0，0）不存在,而（0，0，0）又在z=0上，故须挖去（0，0，0）,考虑到P,Q,R
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