“数形结合”在二次函数中的应用

.“数形结合”在二次函数中的应用数形结合是通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化；数形结合是初中数学基本思想之一，是用来解决数学问题的重要思想，近几年来各地中考对考生数形结合能力的考查越来越大，本文通过实例浅谈“数形结合”在二次函数中的应用。1、“以形解数” y 例1：已知：点（-1 ，） （-3 ，） （2，）在y=3x2+6x+2的图象上，则： 、 、的大小关系为（ ）2A. B. -1x-1OC. D. 分析：由y=3x2+6x+2 =3（x+1）2- 1画出图象1，由图象可以看出： 抛物线的对称轴为直线x=-1 图1即：x=-1 时,y有最小值, 故排除A、B，由图象可以看出：x=2时y3的值,比x=-3时y2的值大,故选c.例2: 已知抛物线y=2x2+x-2m+1与x轴的两个交点，在原点的两侧，则m的取值范围是（ ）A m B m C m- D m 分析：按常规,此题要用判别式、根与系数的关系列出不等式组解之，若用数形结合的方法，Y先画出抛物线y=2x2+x-2m+1XO的草图，易知当x=0时，y0,-2m+1因此，只要解不等式-2m+10即可，即m，故选A 图2例3：二次函数 y=ax2+bx+c的图象的顶点在第三象限,且不经过第四象限,则此抛物线开口向 ，c的取值范围 ，b的取值范围 ，b2-4ac的取值范围 。解：由题意画出图象，如图：y 从而判断：a0, c0 对称轴：x=-0 b0O 图象与x轴有两个交点： 0x即b2-4ac0注：以上各题是“以形助数”即 图3将数量关系借于图形及其性质，使其直观化，形象化，从而使问题得以解决。2、“以数助形”例4:已知：二次函数的图像与轴交于A（，0）、B（，0），与轴交于点C，且满足 求：这个二次函数的解析式； 解: AO=-x1 OB= x2Ya=10 CO= m+10m-1ABOOx CCO(OB-OA)=2AOOB 即(m+1)(x1+x2)=-2 x1x2x1+x2=2（m-1），x1x2=-（1+ m） 图4（m+1）2（m-1）=2（1+ m）解得m=-1（舍去），m=2二次函数的解析式y=x2-2x-3注：本题是“以数助形”即将线段长度关系 转化为点的坐标，通过解方程求出m的值，从而使问题轻易而举得以解决。3、“以数助形”“以形解数”例5：如图5，已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象过点C（0，），与x轴交于两点A、B，且. 求（1）A、B两点的坐标；（2）求二次函数的解析式和顶点P的坐标；（3）若一次函数y=kx+m的图象的顶点P，把 PAB分成两个部分，其中一部分的面积不大于PAB面积的，求m的取值范围。PY解：（1）C ，.BANMOxA、B两点的坐标是A（5，0），B（-1，0）（2）由A（5，0），B（-1，0），C（0，），求得y=-（x-2）2+3. 图5顶点P的坐标为（2，3）；（3）由图象可知，当直线过点P（2，3）且过点M（1，0）或N（3，0）时，就把PAB分成两部分，其中一个三角形的面积是PAB的面积的.过N（3，0），P（2，3）的一次函数解析式为y=-3x+9；过点A（5，0），P（2，3）的一次函数解析式为y=-x+5.又一次函数y=kx+m，当x=0时，y=m，此一次函数图象与y轴的交点的纵坐标为m，观察图形变化，可得m的取值范围是5m9. 过B（-1，0），P（2，3）的一次函数解析式为y=x+1；过点M（1，0），P（2，3）一次函数解析式为y=3x-3，观察图形变化，得m的取值范围是-3m1.m的取值范围是-3m1或5m9. 注：本题先由数到形，后由形到数，用运动变化的观点去进行观察分析和化归，巧妙地运用了图形特征来观察图形的变化规