【北师大版】高中数学新课程：选修 推理与证明

推理与证明,定位,“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。,定位,推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，它的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。,定位,合情推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。,定位,演绎推理演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标。,定位,合情推理与演绎推理的作用合情推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方法的作用；演绎推理则具有证明结论，整理和建构知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法。,定位,合情推理与演绎推理的关系两者紧密联系、相辅相成，它们的学习有利于培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力，形成和发展理性思维，使学生体会并认识合情推理在数学发现中的作用，体会证明的功能和特点及在数学和生活中的作用，养成言之有理、论之有据的习惯。,定位,合情推理与演绎推理的关系合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。,定位,在本模块中，学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。,内容结构,标准要求,（1）合情推理与演绎推理了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.了解合情推理与演绎推理的之间的联系与差别.,标准要求,（2）直接证明与间接证明了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法与综合法的思考过程与特点。了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程与特点。,标准要求,（3）数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。,标准要求,（4）数学文化通过对实例的介绍（如欧几里得几何原本、马克思资本论、杰弗逊独立宣言、牛顿三定律），体会公理化思想。介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。,重点,准确把握概念，理解合情推理、演绎推理的联系与区别。,难点,如何正确理解合情推理和演绎推理如何正确理解分析法、综合法、反证法、数学归纳法。,归纳推理,归纳推理是针对一类事物S而言的，如图所示：S的部分事物A和B共同具有的某种特性，是否可以推广到整个S？这就是一个从局部到整体的推理过程。,归纳推理,例如，1）解线性方程组时，由二元线性方程组的解法，推广到多元线性方程组的解法。2）平面向量推广到空间向量再推广到向量空间。,类比推理,类比推理是针对的两类事物，如图所示，在A和B两类事物中，A类中有性质P成立，B类中也有性质P成立，A类中还有性质Q成立，那么B类中是否也具有性质Q成立呢？通过两类事物的类比可以对事物的性质有更深刻的理解，并且可以帮助进行逻辑推理。,类比推理,例如，1）平面几何与球面几何的类比。2）等式和不等式的类比。3）有理数与无理数的类比。4）数的运算与符号的运算的类比。5）平面上直角三角形三边的关系与直三棱锥三个平面的关系的类比。,直接证明综合法：,直接证明分析法：,直接证明数学归纳法,间接证明反证法,教学要求,标准要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。”也就是要求学生在获得数学结论时要经历合情推理到演绎推理的过程。合情推理的实质是“发现-猜想-证明”，因而关注合情推理能力的培养实际上就是希望教师能够重视数学知识的产生和发展过程，发展学生的探究和创新精神。,教学要求,对于“合情推理”和“演绎推理”，要通过具体实例理解合情推理与演绎推理，不追求对概念的抽象表述。模块中设置的证明问题应选材于学生已学过的数学内容，有助于对于基本证明方法的总结，标准要求仅限于“结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理”，因此，应