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,启示,实例,两向量作这样的运算,结果是一个数量.,定义,一、两向量的数量积,第四节数量积、向量积、混合积,数量积也称为“点积”、“内积”.,结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.,关于数量积的说明：,证,证,数量积符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）分配律：,（3）若为数：,若、为数：,设,数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为,解,证,实例,二、两向量的向量积,定义,的方向既垂直于,，又垂直于,，指向符合,右手系,.,关于向量积的说明：,/,向量积也称为“叉积”、“外积”.,向量积符合下列运算规律：,（1）,（2）分配律：,（3）若为数：,证,/,/,设,向量积的坐标表达式,向量积还可用三阶行列式表示,/,由上式可推出,补充,例如，,解,解,三角形ABC的面积为,解,定义,设,混合积的坐标表达式,三、向量的混合积,（1）向量混合积的几何意义：,关于混合积的说明：,解,例6,解,式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.,向量的数量积,向量的向量积,向量的混合积,（结果是一个数量）,（结果是一个向量）,（结果是一个数量）,（注意共线、共面的条件）,四、小结,练习题,练习题答案,例5,解,例6,试在xOy平面上，求与a=-4,3,7垂直的单位向量。,解,设所求单位向量为b=m,n,p,由于它在xOy平面上，且是单位向量，所以满足,六、向量的向量积,a,b,ab,图514,由图514及定义知，ab的模在几何上恰为以a和b为平行四边形的面积，ab的方向垂直于这个平行四边形所在平面。,两个向量的向量积满足以下运算率及性质：反交换率baab与数乘向量的结合率(a)b=a(b)=ab(是实数)分配率(a+b)c=acbca(b+c)=abac两个非零向量a与b平行的充分必要条件是ab0aa=0,为了便于记忆，上式可用行列式表示：,由上式容易推得，向量a与b平行的充要条件是,即对应坐标成比例。,已知a=4,2,1,b=3,0,2,求ab.,例7,
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