数字逻辑第一章

模拟与数字,模拟方式，人们习惯的观察、表示方式，方便、直观。物理量的初始形态、最终的表示方法往往使用模拟方式数字方式，适合计算机的分析处理的方式。易于处理，抗干扰性强,由模拟方式向数字方式转换的例子,音乐：传统的磁带录音CD、MP3照相：胶片照相机数码相机电视：模拟电视数字电视、DVD录像机时钟：模拟机械数字石英交换机：步进、纵横数字程控,模拟电子电路：数字电路的基础,数字逻辑电路：计算机及数字系统的基础,模拟应用无处不在：收音机：音量放大及功率放大无线通信：功率控制手表显示：准模拟显示方式数字电路中：噪声、干扰的控制（电路板中分布电容和分布电感）,数字电路与数字系统越来越普及设计制造使用都更加方便,数字电路与逻辑设计,2011年2月-5月,课程介绍,本课程是电子、通信类专业的专业基础课。主要学习数字电路的基础知识、组合逻辑电路和时序逻辑电路的分析、设计方法以及常用中小规模集成电路的应用。要求：在具有较扎实的数字电路和数字系统理论知识的基础上，独立使用可编程逻辑器件和其它中小规模器件进行逻辑电路设计。,课程的主要内容：逻辑代数基础、组合逻辑电路及时序电路分析与设计、常用中规模组合逻辑及时序逻辑电路应用、可编程逻辑器件、硬件设计描述语言VHDL、数模、模数转换等。,课程介绍,学习方法：重点掌握基本概念、基本电路电路的分析方法、设计方法成绩组成：平时作业20%；期中考试：20；期末考试：60%参考书：徐惠民、安德宁，“数字逻辑设计与VHDL描述”（机械工业出版社）阎石，“数字电子技术基础”（高等教育出版社）,课程介绍,第1章数字技术基础,1.0数字信号和数字电路1.1数字数制与编码1.2逻辑代数基础1.3逻辑函数及表示方法1.4逻辑函数的化简,1.0数字信号和数字电路,数字信号和模拟信号,电子电路中的信号,模拟信号,数字信号,幅度随时间连续变化的信号,例：正弦波信号、锯齿波信号等。,幅度不随时间连续变化,而是跳跃变化,计算机处理的信号：时间和幅度都不连续,称为离散变量,模拟信号,数字信号,模拟电路与数字电路的区别,1、工作任务不同：,模拟电路研究的是输出与输入信号之间的幅度、相位、失真等方面的关系；数字电路主要研究的是输出与输入间的逻辑关系（因果关系）。,模拟电路中的三极管多数工作在非饱和的导通状态,是一个放大（线性）或者运算（非线性）元件；数字电路中的三极管一般工作在饱和或截止状态,起开关作用。,3、两者的基本单元电路、分析方法及研究对象均不同。,2、三极管的工作状态不同：,模拟电路研究的问题,基本电路元件:,基本模拟电路:,数字电路研究的问题,基本电路元件,基本数字电路,逻辑门电路,触发器,数字集成电路,1.1数字数制与编码,1.1.1数制的权和基数数制是进位记数制的简称。记数符号的个数称为基数。常用进制：2、8、10、16不同位置上的数码有不同的权值：例如：8921,进制数,系数,权值,十进制数对应的二进制、八进制、十六进制表示方法,十进制数的一般表达式：,其它进制数的表达式相似：例：16进制：,二进制各位的权,例1.1.1二进制数（10101.01）2按权值展开：,可将进位制的规律推广到任意进位制R，表达如下：n位整数、m位小数的R进制数：以R为基数，逢R进1，借1当R，按权展开式为：,1.1.2数制转换1.二进制数和八进制数之间的转换八进制的基数是2的幂，因此二进制和八进制的互换非常容易。二进制要转换为八进制时，只需要将其以小数点为中心，向两边每三位分成一组，不足三位时补0即可。再把每三位二进制数对应的八进制数码写出即可。例1.1.2将(11101.1101)2转换成八进制解：二进制数=(011101.110100)2八进制数=(35.64)8,若要将八进制转换成二进制数，只要写出每八进制数码对应的二进制数，依次排好即可。例1.1.3将(234.567)8转换成二进制数：,解：八进制数=(234.567)8二进制数=(010011100.101110111)2,2.二进制数和十六进制之间的转换用四位二进制数可表示015十六个16进制数。只需要将其以小数点为中心，向两边每四位分成一组，不足四位时补0即可。例1.1.4将(11101.1101)2转换成十六进制数解：二进制数=(00011101.1101)2十六进制数=(1D.D)16例1.1.5将(AF.26)16转换成二进制解：十六进制数=(AF.26)16二进制数=(10101111.00100110)2,3.非十进制数转换为十进制数任何一个数都可用其权展开式表示为,只需将一非十进制数按权展开相加求和即可。,例1.1.6将(11010.011)2转换成十进制数解：,例1.1.7将(12AF.B4)16转换成十进制数解：,4.十进制数转换为非十进制数整数部分的转换除权取余转换采用基数除法。基数除法是用目的数制的基数去除十进制整数，第一次除所得的余数作为目的数的最低位，得到的商再除以该基数，所得的余数作为目的数的次低位，依次类推，直到商为0，所得的余数为目的数的最高位。,例1.1.8将(53)10转换成二进制数解：,253余数,2261最低位（LSB）,2130,261,230,211,1最高位（MSB）,即：(53)10=(110101)2,0,小数部分的转换乘权取整小数部分的转换是采用基数乘法进行的。即：用该小数乘目的数制的基数，第一次乘的结果的整数部分为目的数小数的最高位，其小数部分再乘基数，所得结果的整数部分为目的数小数的次高位，依次类推，直到小数部分为0或达到要求精度为止例1.2.9将(0.6875)10十进制小数转换成二进制数解：0.68752=1.37501最高位0.37502=0.7500.7502=1.510.52=11最低位所以,当规定小数后的精度较高时，应在后面补零。例如上题中要求小数后8位：,1.1.3编码编码：用若干特定的二进制码来表示自然数、字母、符号和状态的过程。这些特定的二进制数码称为字符代码。二进制码不一定表示二进制数。,.二十六进制编码,（1）自然二进制编码:自然二进制编码是用00001111来表示十进制数的015共16种不同的信息，为有权码。,（）格雷码（循环码）（16进制）格雷码的特点是任何相邻的两个码字中，仅有一位代码不同，其他代码是一样的，又叫单位距离码。它的这一单位距离性，能避免在码组的转换过渡过程中产生瞬时误码。因此格雷码在通信和测量技术中得到了广泛的应用。格雷码是一种无权码。,表1.1.3两种四位二进制编码表,.二十进制编码将十进制的十个数，分别用不少于4位的特定二进制数码表示，我们称为二十进制编码（BCD码）。常用的二十进制编码8421BCD码8421BCD码：用00001001来表示十进制的09。由高到低权值分别为8、4、2、1。这种每位二进制有确定权值的编码叫做有权码。例1.2.10,2421码2421码是一种有权码，其四位二进制由高到低分别代表2、4、2、1。例：,.余3码余3码也有四位，但每位的权是不固定的，故是无权码。它可以由每个8421BCD码加上3的。,（）.余3格雷码余3格雷码是无权码，它的特点也是在任意两个相邻的数之间（包括0与9），仅有一位不同。,例：,.格雷码（十进制）在十六进制格雷码码的基础上，将最后一个编码换为与只有一位不同的编码，是无权码，它的特点是在任意两个相邻的数之间（包括0与9），仅有一位不同。,常见的十进制编码,1.2逻辑代数基础逻辑代数（LogicAlgebra）又名布尔代数（BooleanAlgebra），它是按逻辑规律、处理逻辑运算的代数，是逻辑分析和逻辑设计的理论基础。1.2.1基本概念1.逻辑变量逻辑变量：多用大写字母A，B，C等表示，它有两种取值，即逻辑0和逻辑1。0和1称为逻辑常量。这种只有两个逻辑变量的逻辑代数是二元布尔代数。本课程中的逻辑代数一般是指二值逻辑。在这里，0和1是表示事物矛盾双方的符号。例如，命题的真假，信号的有无，电位的高低。所以逻辑0和逻辑1本身没有数值的意义。,2.基本逻辑运算基本的逻辑运算有与、或、非三种，任何复杂的运算都可由这三种基本逻辑运算来实现。,基本逻辑关系与(and)或(or)非(not),与逻辑关系,规定:开关合为逻辑“1”开关断为逻辑“0”灯亮为逻辑“1”灯灭为逻辑“0”,真值表特点:任0则0,全1则1,一、“与”逻辑关系和与门,与逻辑：决定事件发生的各条件中，所有条件都具备，事件才会发生（成立）。,二极管组成的与门电路,0.3V=逻辑0,3V=逻辑1此电路实现“与”逻辑关系,与门符号:,分配律,=A+A(B+C)+BC;结合律,AA=A,=A(1+B+C)+BC;结合律,=A1+BC;1+B+C=1,=A+BC;A1=1,=左边,例：证明,逻辑代数的运算规则和普通代数运算规则相比，既有许多相似的地方，又有很大的本质差别。如分配律的两个表达式中，与(乘)对或(加)的分配律与普通代数一样，而或(加)对与(乘)的分配律则不符合普通代数规则，对此需要特别予以注意。,（分配律第2条）A+BC=(A+B)(A+C),反演定理（荻摩根定理）证明：,(用真值表证明),1110,00011011,1110,证明:,反演规则反演律又称为荻摩根定理，将其推广可获得反演规则：对于一个逻辑表达式F，如果将F中的所有“”变为“+”，“+”变为“”，“1”变为“0”，“0”变为“1”，原变量变为反变量，反变量变为原变量，运算顺序保持不变，即可得到原表达式的反表达式。例：若则直接利用反演律很容易求得一个表达式的反，但需要特别注意的是，不能在运用规则时破坏原表达式的运算次序。,对偶规则将逻辑表达式F中的所有“”变为“+”，“+”变为“”，“1”变为“0”，“0”变为“1”，得到一个新的逻辑表达式F*。F*即称为F的对偶式。例若则对偶规则和反演规则的区别在于：对偶规则变量不做取反操作。,当函数G和函数F相等时，其对偶式G*和F*也相等,3.常用公式运用逻辑代数的基本定律和规则，可以得出以下常用公式：,（吸收规则）,（用结合率证明）,例：证明：,例：证明:,A+AB=A,证:,证：A+AB=A(1+B)=A1=A,分配率,混合变量吸收规则:,证明:,作业：11（6）12（4）14（1）15（3）16（2）,1.3逻辑函数及其表示方法逻辑变量之间只进行逻辑乘运算的表达式称为“与”项。“与”项之间只进行逻辑加运算的表达式称为“与或”表达式。例如：逻辑变量之间只进行逻辑加运算的表达式称为“或”项。“或”项之间只进行逻辑乘运算的表达式称为“或与”表达式。例如：,1.3.1最小项n个逻辑变量，组成有n个变量的“与”项。与项中，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，则称这个“与”项为最小项。n个变量的表达式，可有2n个最小项。,当变量为“0”时，最小项的对应变量名取反变量,最小项的三个性质：当变量值确定时，所有最小项中，只有一组变量值使最小项取值为1。任意两个不同的最小项之积必为0。n个变量的所有最小项之和必为1。任何一个逻辑表达式均可表示成为唯一的一组最小项之和，称为标准“与或”表达式。,例：最小项的标准表达式：,（表示方法1）,（表示方法2）,（表示方法3）,与或表达式（非标准）,例：设计一个3人表决函数，当两人或两人以上同意时输出为1，否则为0,同意为“1”通过为“1”,输出为”1”的最小项之和,1.3.2最大项有n个逻辑变量，由它们组成具有n个变量的”或”项,每个变量以原变量或反变量的形式只出现一次，则称这个”或”项为最大项。三个变量有23个最大项。,当输入变量为“0”时，最大项的对应变量名取原变量,最大项的性质：对于任意一个最大项，只有一组变量取值可使其值为0。（在变量值确定时）任意两个最大项之和必为1。即：,n个变量的所有2n个最大项之积必为0。即:,任何一个逻辑表达式均可表示成为唯一的一组最大项之积，称为标准“或与”表达式。,例：,例：设计一个3人表决函数，当两人或两人以上同意时输出为1，否则为0,输出为”0”的最大项之积,以M个最小项之和表示的一个N个变量的函数F，其反函数可用M个最大项之积表示。这M个最大项的编号与M个最小项的编号完全相同。,1.3.3最大项和最小项之间的关系,例如:,例如：,1.4逻辑函数的化简同一个逻辑表达式可以有多种函数的表达形式，虽然逻辑功能相同，但有繁有简。因而造成实现的逻辑电路不相同。因此，我们需要对逻辑代数化简。在函数的各种表达式中，“与或”表达式和“或与”表达式是最基本的表达形式。利用对偶规则很容易将“与或”表达式变为“或与”表达式。一般最简的“与或”表达式满足如下要求：与项的个数最少。与项中所包含的变量个数最少。逻辑函数的化简有多种方法：代数法、卡诺图法、QM法等，本课着重介绍前两种。,推论,1.4.2卡诺图化简法,四种表示方法,卡诺图,逻辑函数的表示法,真值表,一输入变量，二种组合,二输入变量，四种组合,三输入变量，八种组合,真值表（四输入变量）,四输入变量，16种组合,1.卡诺图的构成：卡诺图是真值表的图形表示,通过把函数变量分为两组纵横排列,变量的组合按照循环码(格雷码）的规则组合，n个变量组成2n个方格,每个方格对应一个最小项或最大项的编号。循环码(格雷码），是指相邻的两组之间只有一个不同的编码。当输入变量小于五时,采用卡诺图法来化简逻辑代数非常简便。,将真值表或标准逻辑函数式用一个特定的方格图表示，称为卡诺图。,最小项:输入变量的每一种组合。,卡诺图的画法：（二输入变量）,输入变量,卡诺图,A,B,01,01,m0,m1,m2,m3,AB,C,m0,m1,m2,m3,00011110,01,m6,m4,m7,m5,变量以循环码排列,AB,CD,00011110,00,01,11,10,m0,m1,m3,m2,m4,m5,m7,m6,m8,m9,m10,m11,m12,m13,m15,m14,ABC,DE,000001011010110111101100,00,01,11,10,m0,m1,m3,m2,m4,m5,m7,m6,m12,m13,m15,m14,m8,m9,m11,m10,m24,m25,m27,m26,m28,m29,m31,m30,m20,m21,m23,m22,m16,m17,m19,m18,卡诺图具有如下结构特点：卡诺图中几何位置相邻的最小项，它们的变量仅有一个值不同。如：四变量中的m14和m15只有“D”取值不同。,纵横坐标中，以高位变量0、1取值作为分界线，则两个相重叠位置的对称项，它们之间也只有一个变量取值不同。如：四变量图中，横坐标以A的0、1作为分界m11和m3是对称项，它们之间只有变量A取值不同，五变量图中，m23和m7是对称项，它们之间只有变量A取值不同。,n变量的卡诺图包含了2n个所有最小项（或最大）项。n变量的卡诺图的每个最小项（或最大项）有n个相邻最小项（或最大项）,2.逻辑函数的卡诺图表示：（1）三变量的标准逻辑函数填入卡诺图：,标准最小项表达式，在最小项的真值表中，3、5、6、7项为真，所以在三变量的卡诺图中将这四项填1，其余项填0。,（2）由真值表填写卡诺图（三输入变量）,输入变量,对于一个非标准的逻辑表达式（即，不是最小项表达式），可以将逻辑函数变换成最小项表达式再填（通常不是这样做）。例如：,AB,CD,00011110,00,01,11,10,（3）非标准与或逻辑函数表达式填入卡诺图,根据,可以推知，在非最小项表示的逻辑函数中的某个与项缺少某一变量，无论所缺变量取值为1或0，只要乘积项现有变量因子能满足使该乘积项为1的条件，该乘积项便为1。,AB,CD,00011110,00,01,11,10,AB,CD,00011110,00,01,11,10,AB,CD,00011110,00,01,11,10,3.用卡诺图合并最小项依据吸收律:,或,即：如果一个变量分别以原变量和反变量的形式出现在两个乘积项中，而这两个乘积项的其余部分完全相同，那么，这两个乘积项可以合并为一项，它由相同部分的变量组成。可以看出，卡诺图中函数值相同（例如输出为1）的两个相邻逻辑项就符合以上的公式，合并为一项，消去取值不同的那个变量，保留相同的变量组成“与”项或者“或”项。,在图中m0和m2是两个函数值同为1的相邻项，组成一个合并项:,消去了变量C。,，,由于m0、m2和m8、m10也是逻辑相邻项，可以组成更大的合并项，即:,以要获得“与或”式为例：2n个相邻项（格内均为1，构成方阵或矩形阵列)，可消去n个变量，得到一个简化的“与”项。简化项所含变量就是各最小项中取固定值的变量。因此，用卡诺图化简逻辑函数，就是在卡诺图上圈画彼此相邻项，而且一个圈要尽量圈尽量多的“1”（构成方阵或矩形阵列)，组成最大合并项。注意，由重叠律可以看出，卡诺图中的格可重复使用，另外首尾相接的项也属于相邻项，在画圈时要特别注意。,4.利用卡诺图化简逻辑函数,卡诺图化简逻辑函数的几个概念。主要项（本原蕴含项）：在卡诺图中，把2n个相邻1格进行合并，如果合并的圈不能再扩大（再扩大就会包括0格）。这样的圈得到的合并乘积项称为主要项（本原蕴含项）。如m0m1,m0m2m8m10,m13。,多余项（冗余项）：一个主要项圈中的所有1格均被其它的主要项圈覆盖，这个主要项就是多余项（冗余项）。,卡诺图化简逻辑函数的步骤：,作出所要化简函数的卡诺图。,找出只有一种圈法，即只有一种合并可能的1格，从它出发把相邻1格圈起