不等式恒成立问题的几种求解策略(老师用)

.常见不等式恒成立问题的几种求解策略不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现，它综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连，结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略。 1 变量转换策略例1 已知对于任意的a-1,1，函数f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a0 恒成立，求x的取值范围.解析 本题按常规思路是分a=0时f(x)是一次函数，a0时是二次函数两种情况讨论，不容易求x的取值范围。因此，我们不能总是把x看成是变量，把a看成常参数，我们可以通过变量转换，把a看成变量，x看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。令g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3在a-1,1时，g(a)0恒成立，则，得.点评 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。2 零点分布策略例2 已知，若恒成立，求a的取值范围.解析 本题可以考虑f(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即0或或，即a的取值范围为-7，2.点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x轴的上方或在x轴上就行了.3 函数最值策略 例3 已知，若恒成立，求a的取值范围.解析 本题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意.若恒成立或或，即a的取值范围为.点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用恒成立；恒成立.本题也可以用零点分布策略求解.4 变量分离策略 例4 已知函数，若在区间上，的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围.解析 本题等价于一个不等式恒成立问题,即对于恒成立,式子中有两个变量,可以通过变量分离化归为求函数的最值问题. 对于恒成立对于恒成立,令,设,则,即x=1时, k的取值范围是k2.变式 若本题中将改为，其余条件不变，则也可以用变量分离法解.由题意得，对于恒成立对于恒成立,令,设,则，, k的取值范围是k. 点评 本题通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题构造的函数求最值对学生来说有些难度，但通过换元后巧妙地转化为“对勾函数”，从而求得最值. 变式题中构造的函数通过换元后转化为“二次函数型”，从而求得最值.本题也可以用零点分布策略和函数最值策略求解.练习：在ABC中，已知恒成立，求实数m的范围。解析：由，恒成立，即恒成立，5 数形结合策略例5 已知，求实数a的取值范围。解析：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可。当才能保证，而才可以，所以。点评 本题通过对已知不等式变形处理后，挖掘不等式两边式子的几何意义，通过构造函数，运用数形结合的思想来求参数的取值范围，不仅能使问题变得直观，同时也起到了化繁为简的效果.6 消元转化策略 例6 已知f(x)是定义在-1,1上的奇函数,且f(1)=1,若，若对于所有的恒成立，求实数t的取值范围. 解析 本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f(x)是定义在-1,1上的增函数,故 f(x)在-1,1上的最大值为f(1)=1,则对于所有的恒成立对于所有的恒成立，即对于所有的恒成立，令，只要， 点评 对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决.以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略，只是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数的取值范围。事实上，这些策略不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决。二：例题讲解或练习：例2 是否存在常数c使得不等式，对任意正数x、y恒成立？试证明你的结论。解：首先，欲使恒成立（x、y0），进行换元令。上述不等式变为，即恒成立。寻求的最小值，由a0，b0，利用基本不等式可得。同理欲使恒成立，令，得上述不等式变为，即。寻求的最大值，易得。综上知存在使上述不等式恒成立例3已知函数时恒成立，求实数的取值范围。解： 将问题转化为对恒成立。令，则由可知在上为减函数