导数与函数的极值和最值ppt课件.ppt

第三节导数与函数的极值和最值,基础知识梳理,1函数的极值(1)函数的极值的概念：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧，右侧，则点a叫做函数yf(x)的，f(a)叫做函数yf(x)的,f(x)0,f(x)0,极小值点,极小值,基础知识梳理,函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧，右侧，则点b叫做函数yf(x)的，f(b)叫做函数yf(x)的极小值点、极大值点统称为，极大值和极小值统称为,f(x)0,f(x)0,极大值点,极大值,极值点,极值,基础知识梳理,(2)求函数极值的步骤：；检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取,求导数f(x),求方程f(x)0的根,极大值,极小值,基础知识梳理,方程f(x)0的根就是函数yf(x)的极值点是否正确？【思考提示】不正确，方程f(x)0的根未必都是极值点,思考？,基础知识梳理,2函数的最大值与最小值在闭区间a，b上连续，在(a，b)内可导，f(x)在a，b上求最大值与最小值的步骤：(1)(2),求f(x)在(a，b)内的极值,将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中,最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,.,基础知识梳理,3生活中的优化问题利用导数解决实际问题中的最值问题应注意：(1)在求实际问题中的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f(x)0的情形，那么不与端点值比较，也可知道这就是最大(小)值,基础知识梳理,(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的自变量的函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间,三基能力强化,1(2010年山东烟台模拟)函数yx2cosx在0，上取得最大值时，x的值为_,三基能力强化,2(2010年江苏扬州模拟)函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)_无极大值点、有四个极小值点有三个极大值点、两个极小值点有两个极大值点、两个极小值点有四个极大值点、无极小值点,三基能力强化,解析：设f(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4.当x0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f(x)|x2|，则有a，b的正负情况是_,答案：a2或a2或a0)，当x1，e时，2x2aa2，a2e2若a2，f(x)在1，e上非负(仅当a2，x1时，f(x)0)，故函数f(x)在1，e上是增函数，此时f(x)minf(1)1.,课堂互动讲练,课堂互动讲练,若a2e2，f(x)在1，e上非正(仅当a2e2，xe时，f(x)0)，故函数f(x)在1，e上是减函数，此时f(x)minf(e)ae2.综上可知，当a2时，f(x)的最小值为1，相应的x值为1；当2e21，试判断f(x)在(0,1上的单调性；(3)是否存在a，使得当x(0,1时，f(x)有最大值6.,跟踪训练,课堂互动讲练,解：(1)设x(0,1，则x1,0)，f(x)2ax，f(x)是奇函数，f(x)f(x)，当x(0,1时，f(x)2ax，f(x),跟踪训练,2ax(0,12ax+-1,0).,课堂互动讲练,跟踪训练,即f(x)0.f(x)在(0,1上是单调递增函数(3)当a1时，f(x)在(0,1上单调递增f(x)maxf(1)6，,课堂互动讲练,跟踪训练,课堂互动讲练,跟踪训练,课堂互动讲练,本类题主要是指函数方程根的个数或两函数图象交点个数问题，常用构造函数的方法，转化为研究函数极值及图象的相关问题,课堂互动讲练,(2009年高考陕西卷)已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围,课堂互动讲练,【思路点拨】(1)求f(x)，讨论a；(2)由f(1)0，求出a，求f(x)的极值，观察图象，求m的范围,【解】(1)f(x)3x23a3(x2a)，当a0，当a3)，SAMPN|AN|AM|，3分由SAMPN32得32，x3，x216x480，即(x4)(x12)0，312.即AM长的取值范围是(3,4)(12，).6分,课堂互动讲练,当x6时，y0，即函数在(6，)上单调递增，x6时，y0，函数在(3,6)上单调递减，10分当x6时，y取得最小值，即SAMPN取得最小值24(平方米)，此时|AM|6米，|AN|4米.12分,课堂互动讲练,【点评】在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合，用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点,课堂互动讲练,4(本题满分14分)烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染已知A、B两座烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比(比例系数为k)若C是AB连线上的点，设ACxkm，C点的烟尘浓度记为y.,自我挑战,课堂互动讲练,(1)写出y关于x的函数表达式；(2)是否存在这样的点C，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由,自我挑战,解：(1)不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，由ACx(0x20)可得BC20x.,课堂互动讲练,自我挑战,依题意，点C处的烟尘浓度y的函数表达式为：y，(0x20).7分,课堂互动讲练,自我挑战,课堂互动讲练,自我挑战,规律方法总结,1可导函数的极值(1)极值是一个局部性概念，一个函数在其定义域内可以有许多个极大值和极小值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调递增或减的函数没有极值,规律方法总结,2函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值,规律方法总结,3函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的函数的极值可以有多有少，但最值只有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值可能成