综合法、分析法、反证法.ppt

,一、复习：,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.,数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.,直接证明,2.2.1综合法,例1.已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc,因为b2+c22bc,a0所以a(b2+c2)2abc.,又因为c2+b22bc,b0所以b(c2+a2)2abc.,因此a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.,证明:,从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法),用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.,则综合法用框图表示为:,特点:“由因导果”,二、综合法定义：,例2在中，三个内角、对应的边分别为a、b、c，且、成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：为等边三角形,符号语言,图形语言,文字语言,点评：解决数学问题时，学会语言转换；还要细致，找出隐含条件。,例3.在锐角三角形中，求证sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC,课堂练习：,回顾基本不等式：(a0,b0)的证明.,综合法,分析法,一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法（也叫逆推证法或执果索因法）,特点：执果索因.,用框图表示分析法的思考过程、特点.,例2:如图,SA平面ABC,ABBC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证AFSC,证明:要证AFSC,只需证:SC平面AEF,只需证:AESC,只需证:AE平面SBC,只需证:AEBC,只需证:BC平面SAB,只需证:BCSA,只需证:SA平面ABC,因为:SA平面ABC成立,所以.AFSC成立,思考：请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点。回顾以往的数学学习，说说你对这两种证明方法的新认识。,综合法的特点:由因导果,分析法的特点：执果索因.,间接证明,之反证法,思考？,A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？,分析:假设C没有撒谎,则C真.那么A假且B假;,由A假,知B真.这与B假矛盾.,那么假设C没有撒谎不成立;,则C必定是在撒谎.,反证法：假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。,反证法的思维方法：正难则反,反证法的基本步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确,1、用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能？,（1）与原命题的条件矛盾；,（2）与定义、公理、定理等矛盾；,（3）与结论的反面成立矛盾。,（1）难于直接使用已知条件导出结论的命题；（2）唯一性命题；（3）“至多”或“至少”性命题；（4）否定性或肯定性命题。,2、你认为反证法的使用情形有那些？,小试牛刀：,1利用均式,例3求证：是无理数。,假设不成立，故是无理数。,练一练：已知a0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。,思考：,唐吉诃德悖论,小说唐吉诃德里描写过一个国家它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。一天，有个旅游者回答旅游者：我来这里是要被绞死。这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死