直线与圆的最值问题解题策略中考试题中最值问题的解题策略

直线与圆的最值问题解题策略中考试题中最值问题的解题策略 在中考试题中我们常会遇见一些求最值的考题，如求线段长度的最值、线段之和的最值、三角形周长的最值、三角形面积的最值，利润的最值等等.解决这类习题的方法较多，下面谈谈xx年中考中部分求最值问题的解题方法，供读者参考. 一、 利用作对称点的方法求最值 （一） 作对称点求三角形周长的最值 例1 （xx年?河南）如图，在RtABC中，ACB=90，ABC=60，BC=2，E是AB边的中点，F是AC边的中点，D是BC边上一动点，则EFD的周长最小值是 分析 1 此题是由“在直线上作一点使其到直线外两点的距离之和最短”问题拓展而来，如图（3），先作出A点关于直线MN对称的点C，连接BC，交 MN于P点，则交点就是所求的P点.证明时可在直线MN上任取一点不同于P点的点E，连接BE、CE，由两点之间线段最短得出BE+CEBC，可证得EB+EAPA+PB，所以PA+PB最短. 2此题中EFD中位线EF长度为定值1，若让EFD的周长最小，则应让DE+DF的值最小，如图（2），作F点关于BC对称的点G，连接EG，交BC与D点，此时DE+DF的值最小.根据RtABC中条件可得AB=4，AC=GF= 2， EG=DE+DF=，所以EFD的周长最小值为+1 （二） 作对称点，再利用相似等知识求线段之和的最值 例2 （xx年?山东）如图，抛物线yx2bx2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（1，0） （1） 求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2） 判断ABC的形状，证明你的结论； （3） 点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MCMD的值最小时，求m的值 解析 （1） 将A（1，0）代入抛物线解析式得yx2x2，再将函数解析式配成顶点式，得抛物线顶点D的坐标为（，） （2） 利用勾股定理求出AC、BC的长，得AC2+BC2=AB2，所以ABC是直角三角形?摇 （3）由例1得，作出点C关于x轴的对称点C，连接CD，交x轴于点M，可得MC+MD的值最小.设抛物线的对称轴交x轴于点E可证COMDEM，求出OM=，可得m=的值.（也可利用待定系数法求出直线CD的解析式为y=-x+2，再求出直线CD与x轴于交点M的坐标， 即可求出m=） 注：解决这类习题时，要分清作哪一个点关于哪条直线的对称点，并完成对称点的作图.一般利用勾股定理或相似求出每条线段的长度，也常利用待定系数法求过两点（其中一点和另一点的对称点）的直线解析式，再求解即可. 二、 利用勾股定理建立方程模型求重叠部分面积的最值 例3 （xx年?山东）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到MNK. （1） 若1=70，求MKN的度数； （2） MNK的面积能否小于？若能，求出此时1的度数；若不能，试说明理由； （3） 如何折叠能够使MNK的面积最大？求最大值. 解析 1由已知可证KNM=KMN=70，所以MKN=40； 2 如图（1）过M作MEDN，由1中的KNM=KMN得KM=KN，因为斜边KM大于直角边ME,得KM=KN1,所以S =KN1，所以MNK的面积不能小于； 3 MNK是折叠的两个图形的重合部分，要使MNK的面积最大，就应让两部分最大重合，故分两种情况：情况一、如图（2），将矩形纸片对折，使点B和D点重合，此时点K也和D点重合.设MK=MD=x，在AMK中由勾股定理建立方程：x2=（5-x）2+12，得x=2.6，得MD=ND=2.6,此时MNK面积的最大值为1.3；情况二、如图（3），将矩形纸片沿对角线对折，折痕MN和对角线AC重合.设AK=MK=KC=KN=y，在ADK中由勾股定理建立方程，y2=（5-y）2+12，得y=2.6，可求出MK=KN=2.6,此时MNK面积的最大值也为1.3. 注：解决这类习题时，要确定重叠部分的面积最大情况，画出图形，根据已知条件利用勾股定理、相似或函数的等知识给予解决. 三、 利用函数模型求最值 （一） 利用函数模型，求利润方面的最值 例4 （xx年?江苏） 张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y（元/吨）与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C） （1） 求y与x之间的函数关系式； （2） 已知老王种植水果的成本是2800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润W最大？最大利润是多少? 解析 （1） y=8000（0x20） 设直线BC的解析式，将B、C两点坐标代入，得直线BC的解析式为y=-200x+12000（20x40） （2） 老王所获利润是每吨利润与卖出吨数的乘积， 当0x20时，W最大=（8000-2800）20=104000； 当20x40时，W=（-200x+12000-2800）x =-200（x-23）2+105800，所以当采购23吨时，老王所获利润最大为105800元. （二） 利用函数模型求线段的最值 例5 （xx年?山东） 如图，抛物线y=ax2bxc交x轴于点A（3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，3）.点C是点A关于点B的对称点，点F是线段B