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文档简介

,实例1（求曲边梯形的面积）,一、问题的提出,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,曲边梯形如图所示，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,实例2（求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,（1）分割,（2）求和,（3）取极限,路程的精确值,二、定积分的定义,定义,记为,积分上限,积分下限,Riemann积分和,注意：,对定积分的补充规定:,定理1,定理2,三、存在定理,稍后证明。,注：1)闭区间上的单调函数，即使有无限多个间断点，仍不失其可积性.,在0,1上可积.,2)在有限区间a,b上可积的函数必在该区间上有界.简言之，可积必定有界.反之不真.,例如Dirichlet函数在0，1上不可积.,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,几何意义：,解,(1)如图，,例：用定积分的几何意义求下列定积分的值：,(2)如图，,例1利用定义计算定积分,解,注：积分存在时，求积分值时可等分区间且取特殊点为介点，比如小区间的左右端点、中点；但证明函数的可积时，区间的划分和介点的选取必须是任意的。,例2利用定义计算定积分,解,例2利用定义计算定积分,解,证明,利用对数的性质得,极限运算与对数运算换序得,故,注：存在不可积函数，例如Dirichlet函数.,五、小结,定积分的实质：Riemann和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,思考题,将和式极限：,表示成定积分.,思考题解答,原式,练习题,练习题答案,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列
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