《常微分方程》PPT课件.ppt

第六章常微分方程,不定积分问题,微分方程问题,推广,6.1微分方程的基本概念,6.2一阶微分方程,6.3二阶微分方程,6.4用Matlab软件解二阶常系数非齐次微分方程,6.1微分方程的基本概念,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由得C=1,因此所求曲线方程为,由得,例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任意点处的切线斜率为2x，求这曲线的方程。,例2质量为m的物体从空中自由下落，若略去空气阻力求物体下落的距离s与时间t的函数关系s(t)。,常微分方程,偏微分方程,1.含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程.,2.微分方程中所含未知函数的导数（或微分）的最高阶数叫做微分方程的阶.,(本章内容),微分方程的基本概念,分类,例如为二阶微分方程,3.代入微分方程后，能使之成为恒等式的函数称为微分方程的解.,4.用来确定通解中任意常数的条件称为初始条件.,微分方程的基本概念,5.寻求微分方程的解的过程称为解微分方程.,6.2一阶微分方程,6.2.1可分离变量的微分方程,6.2.2一阶线性微分方程,6.2.1可分离变量的微分方程,一、可分离变量的微分方程,例3(细菌繁殖模型)在一个理想的环境中，细胞的繁殖率与细菌的数目成正比，若时细菌的数目为，求系统的细菌繁殖规律。,解：设示在时刻细菌数目，依题意有,例4（自然生长模型）表示一种生物在时间t时种群总数，开始时种群总数分别表示该总群的出生率和死亡率，实践证明,其中r0，k0，试求该种群的自然,生长规律。,由确定常数C，则可得生物总群自然增长规律：,此式称为Logistic方程，显然当其曲线图为,例5（肿瘤生长模型）设是肿瘤体积。免疫系统非常脆弱时，V呈指数式增长，但V长大到一定程度后，因获取的营养不足使其增长受限制。描述V的一种数学模型是：,是肿瘤可能长到的最大体积，确定肿瘤生长规律,解：分离变量,两边积分,由初始条件，可确定，,故特解是,即,此为贡柏茨方程,此为贡柏茨方程图形,二、可化为分离变量的某些方程*,1.齐次方程形如,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,例6.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(当C=0时,y=0也是方程的解),(C为任意常数),例7.解微分方程,分离变量，再两边积分,将u带回得,例8.求方程的通解,6.2.2一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若Q(x)0,称为非齐次方程.,称为齐次方程;,定义3如果方程中未知函数的导数（微分）的最高阶数是一阶的，且所含未知函数及导数（微分）都是一次幂的，则称这种方程为一阶线性微分方程。,一、一阶线性微分方程,1.解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,这里仅表示p(x)的一个原函数,2.解非齐次方程,改写为,两边积分,令,齐次方程通解,非齐次方程特解,故原方程的通解,即,两端积分得,1.齐次方程通解为：,.非齐次方程通解为：,例9用常数变易法求一阶线性方程通解,例10用通解公式求一阶线性方程的通解,当x0时,例11(饮食与体重模型)某人每天从食物中获取10500J热量，其中5040J用于基础代谢。他每天的活动强度，相当于每千克体重消耗672J.此外，余下的热量均以脂肪的形式储存起来，每42000J可转化为1kg脂肪。问：这个人的体重是怎样随时间变化的，会达到平衡吗?,解：依题意，进食增加10500/42000=0.25kg基础代谢5040/42000=0.12kg活动消耗67.2w/42000=0.0016wkg,例12（药代动力学模型）假定药物以恒定速率K0向一个同质单元进行静脉滴注，K0的单位为单位时间的药量，并且药物在同质单元内按一级消除速率常数K的过程消除。K的单位为时间的倒数。试求此系统药物随时间变化规律。,例13（细菌繁殖非理想环境模型），除系统本身的繁殖外有的细菌向系统外迁移，其迁移速率是时间t的线性函数，即At+B，系统内繁殖率与细菌的数目成正比，并假定t=0时，测得的细菌的数目为x(0)，求系统的细菌繁殖规律,二、伯努利(Bernoulli)方程*,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),例14求方程的通解,解：这是伯努力方程，其中,课堂练习题:求,的特解,(雅各布第一伯努利),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(16541705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,1713年出,这是组合数学与概率论史,此外,他对,双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.,6.3.1可降阶高阶微分方程,一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,一、型的微分方程,令则,两端积分得,则,再积分，得通解,例15求方程的通解,积分一次得,最后积分得,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,例16求方程满足初始条件的特解。,用代替，得,积分得,代入初始条件,得,故特解是,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,例17.求解,故所求通解为,解:,原始可写为,两端积分得,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,632二阶线性常系数齐次方程,定义5如果方程中未知函数的导数(或微分)的最高阶数是二阶的，且所含未知函数及其各阶导数(或微分)都是一次幂的，则称这种方程为二阶线性微分方程，一般形式为：,称之为二阶线性齐次方程；,称之为二阶线性非齐次方程,定理1若函数和是二阶线性常系数齐次微分方程的两个解，则其线性组合也是该方程的解。其中Cl、C2是两个任意常数。,定理2若和是二阶线性常系数齐次微分方程的两个线性无关的特解，则就是该方程的通解其中C1和C2是两个任意常数。,定理3设是二阶线性非齐次方程的一个特解，是其对应的二阶线性齐次方程的通解，则是二阶线性非齐次方程的通解。,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,(r为待定常数),所以令的解为,其根称为特征根.,1.当,时,有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,则微分,故所求特解是,2.当,时,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,(u(x)待定),代入方程得:,注意是特征方程的重根,取u=x,则得,因此原方程的通解为,例19求微分方程的通解。,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用