《导数及其应用》PPT课件.ppt

导数及其应用,1导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景（2）理解导数的几何意义,2导数的运算（1）能根据导数定义，求函数的导数,（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如的导数.常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：.,3导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次4.生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题,知识体系构建,本章考点是：利用导数求函数的极值；利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；利用导数证明函数的单调性；导数在实际中的应用；导数与函数、不等式等知识相融合的问题；导数与解析几何相综合的问题；,知识梳理,1.导数的概念（1）平均变化率：已知函数y=f(x)，如果自变量x在x0处有改变量x，那么函数y相应地有改变量y=_,比值就叫做函数y=f(x)在x0到x0+x之间的平均变化率。（2）函数在x=x0处导数的定义：一般地，设函数y=f(x)在x0附近有定义，当自变量在x=x0的附近改变量为x时，函数值的改变量为y=_，如果x趋近于0时，平均变化率=_趋近于一个常数m，即,一.导数的概念及其运算,_,这个常数m叫做函数f(x)在点x0处的瞬时变化率.函数f(x)在点x0处的瞬时变化率又称为函数y=f(x)在x=x0处的导数.记作：_或_即：_如果函数y=f(x)在x0处有导数（即导数存在），则说函数f(x)在x0处可导如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的，则说函数f(x)在区间（a,b）可导.,（3）导函数的定义：表示函数的平均改变量，它是x的函数，而表示一个确定的数值，即_.当x在区间（a,b）内变化时，便是x的一个函数，我们称它为f(x)在(a,b)的导函数（简称导数）.y=f(x)导函数有时记作y，即_.,2导数的几何意义及物理意义（1）函数f(x)在点x0处导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率，相应的切线方程是：（2）导数的物理意义：位移函数s=s(t)在t0处的导数s(t0)是函数s=s(t)在时刻t0时代瞬时速度，即v=s(t0),速度函数v=v(t)在t0处的导数v(t0)函数v=v(t)在时刻t0时代瞬时加速度，即a=v(t0).,3导数的运算（1）几种常见函数（基本初等函数）的导数：c=0(c为常数），（xm)=_.特别地：_;_;_;_;_;_;_;_;,（2）导数的四则运算法则和、差的导数：_(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).积的导数：_（口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号)若c为常数，则_.商的导数：_.(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号),基础自测,1.（2009年全国卷）曲线在点(1,1)处的切线方程为A.x-y-2=0B.x+y-2=0C.x+4y-5=0D.x-4y-5=0,1.解析：故切线方程为，即，故选B.答案：B,2.（2009年宁夏海南卷）曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为_,2.解析：，斜率，所以，即.答案:,3.(2008年北京卷)如下图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则_；_(用数字作答）,3.解析：由A(0,4),B(2,0)可得线段AB所在直线的方程为f(x)=-2x+4(0x2).同理BC所在直线的方程为f(x)=x-2(2x6).所以所以f(0)=4,f(4)=2.答案：2，-2,4(2009年广州调研)如下图所示，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8，则f(5)=_，f(5)=_.,4.答案：3，-1,设函数f(x)在x=2处可导，且f(2)=1，求分析：利用导数的定义，可容易求得.解析：由已知条件和导数的定义，可得：,点评：在对导数的定义理解时，要注意中x的变化形式.,设函f(x)在x=a处可导，则，此结果作为导数定义的另一种形式，与导数的定义无关，我们可以证明之：令x=a+x，则当xa时，x0，,变式探究,1.已知，则_.答案：-1.,求函数的导数,解析：,先使用三角公式进行化简，得,先化简，,是由函数复合而成的，,注意：求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量.,变式探究,2.求下列函数的导数,2.解析：,（2009年全国卷）已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为A.1B.2C.-1D.2,解析：设切点P(x0,y0)，则y0=x0+1,y0=ln(x0+a),又答案：B点评：切点的三重身份：切点在曲线上；切点在切线上；切点处的导数值等于切线斜率.,变式探究,3.（2009年江西卷）设函数f(x)=g(x)+x2，曲线y=g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为A.4B.-1/4C.2D.-1/2,3.解析：由已知g(1)=2,而f(x)=g(x)+2x,所以f(1)=g(1)+2x1=4答案：A,1.深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系（1）函数f(x)在点x0处的导数f(x0)是一个常数；（2）函数y=f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点x而言的.如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点x都可导，是指对于区间（a,b）内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f(x0).这样就在开区间(a,b)内构成了一个新函数，就是函数f(x)的导函数f(x).在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数.(3)函数y=f(x)在x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点x=x0处的函数值.即f(x0)=f(x)|x=x0.,2.利用导数的定义求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数的改变量:（2)求平均变化率:（3取极限，得导数:简记为:“一差、二比、三极限”.,（2009年湖北卷）设球的半径为时间t的函数R(t).若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（）A.成正比，比例系数为cB.成正比，比例系数为2cC.成反比，比例系数为cD.成反比，比例系数为2c解析：由题意可知球的体积为，则c=V(t)=4R2(t)R(t)，由此可得，而球的表面积为S(t)=4R2(t)，所以v表S(t)=(4R2(t)=8R(t)R(t)，即答案：D,已知抛物线C:y=x2+4x+7/2，过C上点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线.(1)若C在点M的法线的斜率为1/2，求点M的坐标（x0,y0）;(2)设P(2,a)为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.解析：（1)函数y=x2+4x+7/2的导数y=2x+4，抛物线C上点M(x0,y0)处切线的斜率k0=2x0+4，因为过点(x0,y0)的法线斜率为1/2，所以1/2(2x0+4)=1，解得x0=1,y0=1/2，故点M的坐标为(1,1/2).,（2）设M(x0,y0)为C上一点，a.若x0=2，则C上点M（2,1/2）处的切线斜率k=0，过点M（2,1/2）的法线方程为x=2，则此法线过点P(2,a)；b.若x02，则过点M(x0,y0)的法线方程为：若法线过P(2,a)，则即(x0+2)2=a，,若a0，则，从而，将上式代入，化简得：,，若a=0与x02矛盾，若a0，那么函数y=f(x)在这个区间内为增函数；如果在这个区间内y0,则f(x)在相应区间内为增函数；若f(x)3Ba1/3Dae0=1,2(e2x-1)0,即f(x)0.f(x)=e2x-1-2x在（0，+）上是增函数.f(0)=e0-1-0=0.当x0时，f(x)f(0)=0,即e2x-1-2x0.1+2x1，证明不等式：xln(1+x)；证明：令f(x)=x-ln(1+x)，则x1,f(x)0,f(x)在(1,+)上为增函数，当x1时,f(x)f(1),即x-ln(1+x)1-ln20,xln(1+x).,（2008年江苏卷）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm.（1）按下列要求写出函数关系式：设BAO=(rad)，将y表示成的函数关系式；,设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短.解析：（1）由条件知PQ垂直平分AB，若BAO=(rad)，则，故，又OP=1010tan，所以，,所求函数关系式为；若OP=x(km)，则OQ=10-x，所以，所求函数关系式为（2）选择函数模型，,令y=0得当时y0，y是的增函数；所以当时，此时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边km处.,变式探究,4.（2008年广东卷）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用平均建筑费用+平均购地费用，,温馨提示,1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f(x)0（或f(x)f(x1).,（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.,（5）可导函数的极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点，如函数y=x3在x=0处导数为0，但x=0不是极值点.（6）函数在一点x0处有极值，不一定在该点可导.如函数y=|x|在x=0有极小值，但在x=0处不可导,即导数不存在.5.对于函数的最值问题，应注意以下几点：（1）在闭区间a,b上图象连续不断的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值（2）在开区间(a,b)内图象连续的函数f(x)不一定有最,大值与最小值如函数在(0,+)内连续，但没有最大值与最小值.（3）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；而函数的极值是比较极值点附近函数值得出的（4）函数f(x)在闭区间a,b上的图象连续不断，是f(x)在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件如函数在1,1上有最大值，最小值，（最大值是0，最小,值是-2），但其图象却不是连续不断的（如下图）.,(5)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.（6）若函数f(x)只有一个极值，则必为最值.若函数f(x)在闭区间a,b上递增，则f(x)min=f(a)，f(x)max=f(b)；若函数f(x)在闭区间a,b上递减，则f(x)min=f(b)，f(x)max=f(a).,题型展示台,（2008年江苏卷）f(x)=ax33x+1对于x1,1总有f(x)0成立，则a=_.分析：本小题考查函数单调性求最值以及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想.解析：要使f(x)0恒成立，只要f(x)min0在x1,1上恒成立.f(x)=3ax23=3(ax21),（1）当a=0时，f(x)=3x+1，所以f(x)min=20，不符合题意，舍去.（2）当a0时，f(x)=3ax23=3(ax21)0,g(x)是增函数.综上所述，当a1时，增区间为（a2，+），减区间为（1，a2）；当a1时，增区间为（1，+）.,导数及其应用,三定积分的概念、微积分基本定理及简单应用,知识梳理,1一般地，如果函数yf(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I上的_2以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤：_，_，_，_.3定积分的定义如果函数f(x)在区间a，b上图