2019_2020学年高中数学第2章解析几何初步2_2_2圆的一般方程学案北师大版必修2.docx

2.2圆的一般方程1圆的一般方程的定义当D2E24F0时，二元二次方程x2y2DxEyF0表示一个圆，这时这个方程叫作圆的一般方程2方程x2y2DxEyF0表示的图形判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)方程x2y2x10表示圆()(2)方程2x22y22ax2ay0(a0)表示圆()(3)任何二元二次方程都表示圆()答案(1)(2)(3)题型一圆的一般方程的概念【典例1】若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径思路导引(1)根据表示圆的条件求m的取值范围(2)将方程配方，根据圆的标准方程求解解(1)据题意知D2E24F(2m)2(2)24(m25m)0，即4m244m220m0，解得m，故m的取值范围为.(2)将方程x2y22mx2ym25m0写成标准方程为(xm)2(y1)215m，故圆心坐标为(m,1)，半径r.解答该类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一看D2E24F是否大于零，二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数针对训练1下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径(1)x2y22xy20；(2)x2y22axa20(a0)；(3)x2y22ax2ay0(a0)解(1)D2，E1，F2，D2E24F41830，方程不表示任何图形(2)D2a，E0，Fa2，D2E24F4a24a20，方程表示点(a,0)(3)D2a，E2a，F0，D2E24F8a20，方程表示圆，它的圆心为(a，a)，半径r|a|.题型二求圆的一般方程【典例2】已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)(1)求ABC的外接圆的方程；(2)若点M(a,2)在ABC的外接圆上，求a的值思路导引求圆的方程有两种形式可选：标准形式及一般式，分别代表了圆的几何特征与代数特征，根据已知选取合适的形式是解决问题的关键解(1)设ABC外接圆的方程为x2y2DxEyF0，由题意，得解得即ABC的外接圆的方程为x2y28x2y120.(2)由(1)知，ABC的外接圆的方程为x2y28x2y120，点M(a,2)在ABC的外接圆上，a2228a22120，即a28a120，解得a2或6.引申探究若本例中将点“C(3，1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线yx对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？解kAB，AB的中点坐标为，AB的垂直平分线方程为y3.联立得即圆心C的坐标为，r，圆C的方程为22.应用待定系数法求圆的方程时应注意以下两点：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.针对训练2已知一圆过P(4，2)，Q(1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程解解法一(待定系数法)：设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P，Q的坐标分别代入上式，得令x0，得y2EyF0，由已知得|y1y2|4，其中y1，y2是方程的根，|y1y2|2(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48.联立解得或故圆的方程为x2y22x120或x2y210x8y40.解法二(几何法)：由题意得线段PQ的垂直平分线方程为xy10，所求圆的圆心C在直线xy10上，设其坐标为(a，a1)又圆C的半径长r|CP|.由已知得圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|，r2a22，代入整理得a26a50，解得a11，a25，r1，r2.故圆的方程为(x1)2y213或(x5)2(y4)237.题型三求动点的轨迹方程【典例3】等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么思路导引用(x，y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标，列出关于x，y的方程，把方程化简为最简形式，剔除不符合条件的点解设另一端点C的坐标为(x，y)依题意，得|AC|AB|.由两点间距离公式，得，整理得(x4)2(y2)210.这是以点A(4,2)为圆心，以为半径的圆，如图所示，又因为A、B、C为三角形的三个顶点，所以A、B、C三点不共线即点B、C不能重合且B、C不能为圆A的一直径的两个端点因为点B、C不能重合，所以点C不能为(3,5)又因为点B、C不能为一直径的两个端点，所以4，且2，即点C不能为(5，1)故端点C的轨迹方程是(x4)2(y2)210(除去点(3,5)和(5，1)，它的轨迹是以点A(4,2)为圆心，为半径的圆，但除去(3,5)和(5，1)两点求与圆有关的轨迹问题常用的方法(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程(3)相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程针对训练3已知直角ABC的两个顶点A(1,0)和B(3,0)，求直角顶点C的轨迹方程解解法一：设顶点C(x，y)，因为ACBC，且A，B，C三点不共线，所以x3且x1.又kAC，kBC.且kACkBC1，所以1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3且x1)解法二：ABC是以C为直角顶点的直角三角形，设顶点C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以x3且x1.由勾股定理得|AC|2|BC|2|AB|2，即(x1)2y2(x3)2y216，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3且x1)1圆2x22y26x4y30的圆心坐标和半径分别为()A.和B(3,2)和C.和D.和解析由一般方程圆心，半径r两公式易得答案答案C2方程x2y24x2y5m0表示圆的条件是()A.m1CmDm0.答案D3M(3,0)是圆x2y28x2y100内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是()Axy30Bxy30C2xy60D2xy60解析过M最长的弦应为过M点的直径所在直线答案B4方程x2y22axbyc0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为()A2,4,4B2，4,4C2，4,4D2，4，4解析由方程得圆心坐标为，半径为r.由已知，得a2，2，2，解得a2，b4，c4.答案A课后作业(二十四)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1若直线3xya0过圆x2y22x4y0的圆心，则a的值为()A1B1C3D3解析因为圆x2y22x4y0的圆心为(1,2)，所以3xya0过点(1,2)，即32a0，所以a1.答案B2若圆x2y22x4y0的圆心到直线xya0的距离为，则a的值为()A2或2 B.或C2或0D2或0解析由圆心(1,2)到直线的距离公式得，得a0或a2.答案C3方程x2y22axb20表示的图形是()A一个圆B只有当a0时，才能表示一个圆C一个点Da，b不全为0时，才能表示一个圆解析(2a)24b24(a2b2)，当ab0时，方程表示一个点；当a0或b0时方程表示一个圆答案D4已知两点A(0,3)，B(4,0)，若点P是圆x2y22y0上的动点，则ABP面积的最大值为()A13B3 C.D.解析圆的方程可化为x2(y1)21，圆心为(0,1)，半径为1.直线AB的方程为1，即3x4y120，|AB|5.圆心到直线AB的距离为d，P到直线AB的距离的最大值为1，SABP的最大值为S5，故选C.答案C5动点P到点A(8,0)的距离是到点(2,0)的距离的2倍，那么点P的轨迹方程为()Ax2y232 Bx2y216C(x1)2y216 Dx2(y1)216解析设P(x，y)，根据题意有2，整理得x2y216.答案B6过圆x2y26x4y30的圆心，且垂直于x2y110的直线方程是_解析圆x2y26x4y30的圆心为(3，2)，直线x2y110的斜率为，则所求直线的斜率为k2，故所求直线方程为y22(x3)，即2xy80.答案2xy807圆C：x2y28x4y190关于直线xy10对称的圆的方程为_解析圆C的方程可化为(x4)2(y2)21，圆心为(4，2)，半径r1.设所求的圆为(xa)2(yb)21，则有即解得所以所求圆的方程为(x1)2(y5)21.答案(x1)2(y5)218由方程x2y2x(m1)ym20所确定的圆中，最大面积是_解析r2，所以当m1时，r，所以Smax.答案9设圆的方程为x2y24x50，(1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1)，求直线AB的方程解(1)将x2y24x50配方得：(x2)2y29.圆心坐标为C(2,0)，半径为r3.(2)设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知：CPAB，kCPk1.又kCP1，k1.直线AB的方程为y1(x3)，即：xy40.10已知圆C的方程为x2y2(m2)x(m1)ym20，根据下列条件确定实数m的取值，并写出相应的圆心坐标和半径(1)圆的面积最小；(2)圆心距离坐标原点最近解因为(m2)2(m1)24(m2)2m26m13220恒成立，所以无论m为何值，方程总表示圆，且圆心坐标为，圆的半径r.(1)当圆的半径最小时，圆的面积最小r，当且仅当m时，等号成立，此时面积最小所以当圆的面积最小时，圆心坐标为，半径r.(2)圆心到坐标原点的距离d，当且仅当m时，圆心到坐标原点的距离最近此时，圆心坐标为，半径r.应试能力等级练(时间25分钟)11已知两点A(2,0)，B(0,2)，点C是圆x2y22x0上任意一点，则ABC面积的最小值是()A3B3C3 D.解析lAB：xy20，圆心(1,0)到l的距离d，AB边上的高的最小值为1.Smin23.答案A12若曲线C：x2y22ax4ay5a240上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为()A(，2)B(，1)C(1，)D(2，)解析曲线C的方程可化为(xa)2(y2a)24，则曲线C表示的是以(a,2a)为圆心，2为半径的圆要使圆C上所有的点均在第二象限内，则圆心(a,2a)必须在第二象限，从而有a0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C的半径易知圆心到两坐标轴的最短距离为|a|，则有|a|2，故a2.答案D13若A(5,0)、B(1,0)、C(3,3)三点的外接圆为M，点D(m,3)在M上，则m_.解析设过A(5,0)、B(1,0)、C(3,3)的圆的一般方程为x2y2DxEyF0.依题意有解得即所求圆的方程为x2y24xy50.因为点D(m,3)在M上，所以m2324m350，解得m3或m7.答案3或714若直线l：axby10始终平分圆M：x2y24x2y10的周长，则(a2)2(b2)2的最小值为_解析圆M的圆心为(2，1)，由题意知点M在直线l上，所以2ab10，所以b2a1，所以(a2)2(b2)2(a2)2(2a12)25a255.答案515在ABC中，|BC|4，|AB|3