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文档简介

第五章定积分及其应用,一、本章要点二、例题选讲,一、本章要点,1、定积分定义：分割、取近似、求和、取极限.,2、定积分的几何意义：,表示曲边梯形的面积.,且只有有限个第一类间断点,3、函数可积条件:,4、定积分的性质：,（1）线性运算性质,（2）对积分区间的可加性,（3）单调性,（4）积分估值不等式,（5）定积分中值定理,定理1.若,积分上限函数,积分,5、积分上限函数及其导数,则积分上限函数,定理2（原函数存在定理）,变限积分求导:,(微积分基本公式),积分中值定理,微分中值定理,牛顿莱布尼兹公式,6、牛顿莱布尼兹公式(N-L公式),则,7、定积分的换元法,设函数,函数,满足:,1),2),上具有连续导数,则,换元公式也可反过来使用,即,或凑微分,凑微分不换限,(换元公式),则,定积分的分部积分公式,应用公式的关键是选择u,v，次序仍然是：对、反、幂、三、指,8、定积分的分部积分法,（1）、平面图形的面积,直角坐标情形,如图曲边梯形:,其面积为,面积元素,a,b,上支-下支,其面积为,面积元素,如图所围图形:,9、定积分在几何上的应用,如图所示平面图形:,其面积为,c,d,右支-左支,面积元素,极坐标情形：,如图曲边扇形:,面积为:,面积元素:,、旋转体的体积,（2）、体积,、平行截面面积为已知的立体的体积,绕x轴,绕y轴,(3).平面曲线的弧长,曲线弧L:,弧长元素:,弧长,直角坐标情形:,L:,弧长元素,弧长,参数方程情形:,L:,极坐标情形,则定义,则定义,则定义,无穷限的反常积分:,11、反常积分,若,而b为f(x)的瑕点，,则定义,而点c为,f(x)的瑕点,则定义,点a为f(x)的瑕点.,则定义,无界函数的反常积分:,12、奇偶函数在关于原点对称区间上积分的性质：,偶倍奇零,13、瓦里兹公式,n为正偶数,n为正奇数,其中,例1.计算,解:令,则,原式=,且,另解:,由定积分的几何意义,等于圆的第一象限部分的面积,二、例题选讲,例2.计算,解:令,则,原式=,机动目录上页下页返回结束,且,例3
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