（新课标）高考数学复习第五章平面向量、复数第27讲平面向量的基本定理及坐标运算导学案新人教A版.docx

第27讲平面向量的基本定理及坐标运算【课程要求】1了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示2会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线和垂直的条件对应学生用书p76【基础检测】1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()(6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变()答案 (1)(2)(3)(4)(5)(6)2必修4p97例5已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为_解析设D(x，y)，则由，得(4，1)(5x，6y)，即解得答案 (1，5)3必修4p119A组T9已知向量a(2，3)，b(1，2)，若manb与a2b共线，则_解析由向量a(2，3)，b(1，2)，得manb(2mn，3m2n)，a2b(4，1)由manb与a2b共线，得，所以.答案4设e1，e2是平面内一组基底，若1e12e20，则12_答案05已知点A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量_解析根据题意得(3，1)，(4，3)(3，1)(7，4)答案 (7，4)6已知向量a(1，2)，点A(2，1)，若a且|3，O为坐标原点，则的坐标为()A(1，5) B(5，7)C(1，5)或(5，7) D(1，5)或(5，7)解析由a知，存在实数，使a(，2)，又|3，则24295，即3或3，所以(3，6)或(3，6)又点A(2，1)，所以(1，5)或(5，7)答案D【知识要点】1平面向量基本定理如果e1和e2是一个平面内的两个_不共线_向量，那么对于该平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj.这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，把a(x，y)叫做向量的坐标表示，|a|叫做向量a的长度(模)3平面向量坐标运算向量的加减法若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_(x1x2，y1y2)_，ab_(x1x2，y1y2)_.实数与向量的积若a(x1，y1)，R，则a_(x1，y1)_.向量的坐标若起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则_(x2x1，y2y1)_.4.两向量平行和垂直的坐标表示(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2y1x20.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.对应学生用书p76平面向量基本定理的应用例1(多选)在下列向量组中，可以把向量a(3，2)表示出来的是()Ae1(0，0)，e2(1，2)Be1(1，2)，e2(5，2)Ce1(3，5)，e2(6，10)De1(1，1)，e2(2，1)解析法一：设ak1e1k2e2，A选项，(3，2)(k2，2k2)，无解；B选项，(3，2)(k15k2，2k12k2)，解得故B中的e1，e2可以把a表示出来；同理，C选项同A选项，无解；D选项，易解得k11，k21.法二：只需判断e1与e2是否共线即可，不共线的就符合要求答案BD例2如图所示，已知AOB中，点C是以A为中心的点B的对称点，2，DC和OA交于点E，设a，b.(1)用a和b表示向量、；(2)若，求实数的值解析 (1)由题意知，A是BC的中点，且，由平行四边形法则得，2.22ab，(2ab)b2ab.(2)由题意知，.又(2ab)a(2)ab，2ab，.小结用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便1如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE2EA，AD与CE交于点O.若3，则_解析由题得()，因为3，所以，22，.答案平面向量的坐标运算例3已知点A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n的值；(3)求点M，N的坐标及向量的坐标解析由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(6，42)(2)因为mbnc(6mn，3m8n)，所以解得(3)设O为坐标原点因为3c，所以3c(3，24)(3，4)(0，20)，所以点M的坐标为(0，20)又因为2b，所以2b(12，6)(3，4)(9，2)，所以点N的坐标为(9，2)，所以(9，18)小结(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解2已知O为坐标原点，向量(2，3)，(4，1)，且3，则|_解析设P(x，y)，由题意可得A，B两点的坐标分别为(2，3)，(4，1)，由3，可得解得故|.答案平面向量共线的坐标表示例4已知a(1，0)，b(2，1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线；(2)若2a3b，amb，且A，B，C三点共线，求m的值解析 (1)a(1，0)，b(2，1)，kabk(1，0)(2，1)(k2，1)，a2b(1，0)2(2，1)(5，2)，kab与a2b共线，2(k2)(1)50，k.(2)2(1，0)3(2，1)(8，3)，(1，0)m(2，1)(2m1，m)A，B，C三点共线，8m3(2m1)0，m.小结向量共线充要条件的2种形式：(1)abab(b0)；(2)abx1y2x2y10(其中a(x1，y1)，b(x2，y2)当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便3已知向量a(1，3)，b，若c(a2b)，则单位向量c()A.或B.或C.或D.或解析因为a(1，3)，b，所以a2b(3，4)，又c(a2b)，所以存在实数，使c(a2b)，所以|a2b|，所以，所以c或.故选B.答案B向量问题坐标化例5如图，平面内有三个向量、，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2，若(，R)，则的值为_解析由条件可知，COB90，以O为原点，OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系则(2，0)，(0，1)，因为，所以(2，0)(0，1)，所以所以所以6.答案6例6在直角梯形ABCD中，ABAD，DCAB，ADDC1，AB2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动(如图所示)若，其中，R，则2的取值范围是_解析以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，依题意得D，E，C(1，1)，B，F，设P，依题意，即，两式相减得2sincossin，sin.答案 1，1小结(1)向量相等就是两向量的坐标对应相等(2)利用向量的坐标运算可将向量问题代数化(3)注意如下结论的运用：当向量的起点在原点时，P点的坐标就是向量的坐标；若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量(x2x1，y2y1)4向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则等于()A1B2C3D4解析以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)，a(1，1)，b(6，2)，c(1，3)cab，(1，3)(1，1)(6，2)，即解得2，4.答案D对应学生用书p781(2018全国卷理)已知向量a(1，2)，b(2，2)，c(1，)，若c(2ab)，则_解析2ab2(1，2)(2，2)(4，2)，又c(2ab)，故有4210，.答案2(2017全国卷理)在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若，则的最大值为()A3B2C.D2解析如图所示