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初中二次函数与三角形结合习题集1如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点直线y=kx+b与抛物线y=mx2x+n同时经过A(0,3)、B(4,0)(1)求m,n的值(2)点M是二次函数图象上一点,(点M在AB下方),过M作MNx轴,与AB交于点N,与x轴交于点Q求MN的最大值(3)在(2)的条件下,是否存在点N,使AOB和NOQ相似?若存在,求出N点坐标,不存在,说明理由【分析】(1)根据抛物线y=mx2x+n经过A(0,3)、B(4,0),将两点坐标代入抛物线即可得出m,n的值;(2)根据待定系数法可求经过AB两点的一次函数的解析式,得到MN=x+3(x2x+3)=x2+4x=(x2)2+4,从而求解;(3)分两种情况讨论,当ONAB 时,当N为AB中点时,依次求出点N的坐标即可【答案】(1)解:抛物线y=mx2x+n经过A(0,3)、B(4,0),解得二次函数的表达式为y=x2x+3(2)直线y=kx+b经过A(0,3)、B(4,0),则,解得经过AB两点的一次函数的解析式为y=x+3MN=x+3(x2x+3)=x2+4x=(x2)2+4,0x4,当x=2时,MN取得最大值为4(3)存在当ONAB时, 可证:NOQ=OAB,OQN=AOB=90,AOBOQN=,OA=3,OB=4,AB=5,ONAB=OAOB,ON=,NQ=,OQ=N(,);当N为AB中点时, NOQ=B,AOB=NQO=90,AOBNQO此时N(2,)满足条件的N(,)或N(2,)2如图,抛物线y=ax2+bx4与x轴交于A(4,0)、B(2,0)两点,与y轴交于点C,连接AC,BC(1)求该抛物线的解析式;(2)若点P是x轴上的一动点,且位于AB之间,过点P作PEAC,交BC于E,连接CP,设P点横坐标为x,PCE的面积为S,请求出S关于x的解析式,并求PCE面积的最大值;(3)点为D(2,0),若点M是线段AC上一动点,是否存在M点,能使OMD是等腰三角形?若存在,请直接写出M点的坐标;若不存在,请说明理由【分析】(1)将A、B两点坐标代入解析式直接求出a、b即可;(2)设出P点横坐标,由于PEAC,则BPE和BAC相似,根据面积比是相似比的平方得出BPE的面积表达式,用PCB的面积减去BPE的面积就是S,再利用配方法求最值即可;(3)分两种情况讨论:DO=DM;MD=MO【答案】(1)解:把点A(4,0),B(2,0)分别代入中,得:,a=,b=1,这个二次函数解析式为,C(0,4);(2)设P点坐标为(x,0),则BP=2x,SABC=PEAC,BPE=BAC,BEP=BCA,BPEBAC,=()2,即: =()2,又,SPCE=SBCPSBPE=2(2x)=,x=1时,PCE面积有最大值为3;(3)存在M点如图,过点D作DM垂直x轴交AC于M,A(4,0),C(4,0),DM=AD=2=DO,M(2,2);如图,设DO的中垂线交AC于点M,则MD=
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