空间角的几何求法

空间角的几何求法一、 异面直线所成角（线线角） 范围：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得。【典例分析】例1. 已知多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2，AB = 1，F为CD的中点. （1）求证：AF平面CDE； （2）求异面直线AC，BE所成角余弦值； 【变式】在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为 。二、直线与平面所成角（线面角） 范围：【典例分析】例1.如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC=120，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2（1）证明：AB1平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值【变式】如图，四边形ABCD是正方形，PB平面ABCD，MA/PB，PB=AB=2MA， （1）证明：AC/平面PMD； （2）求直线BD与平面PCD所成的角的大小； 例2. 如图所示，四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。(1)求证：BM平面PAD；(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。A【变式】如图，在三棱锥中，是的中点，且，（1）求证：平面平面；（2）试确定角的值，使得直线与平面所成的角为三、平面与平面所成角（面面角） 范围：（1）定义法：当点A在二面角-l-的棱l上时，可过A分别在、内作棱l的垂线，AB、AC，由定义可知BAC即为二面角-l-的平面角。（2）三垂线法：当点A在二面角-l-的一个面内时，可作AO于O，再作OBl于B，连结AB，由三垂线定理可得ABl，故ABO 即为二面角-l-的平面角。（3）垂面法：当点A在二面角-l-内时，可作AB于B，AC于C， 设1过AB、AC的平面与l交于点O，连结OB、OC，可证平面，ABOC是l的垂面，则lOB，lOC，BOC即为二面角-l-的平面角。（4）射影面积法： 【典例分析】例1. 如图，平面，若，求二面角的正弦值 例2. 把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转，使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P（1）求证：面ABP面ABC； （2）求二面角C-BP-A的余弦值例3. 在正三棱柱中，截面侧面(1)求证：；(2)若，求平面与平面所成二面角(锐角)的度数【变式】1. E是正方形ABCD的AB边中点，将ADE与BCE沿DE、CE向上折起，使得A、B重合为点P，那么二面角DPEC的大小为 .2.在正四面体中，求相邻两个平面所成的二面角的余弦值3.已知：二面角且到平面的距离为，到的距离为， 求二面角的大小例3. 已知斜三棱柱，在底面上的射影恰为的中点，又知。（1）求证：平面； （2）求到平面的距离；（3）求二面角的大小。2,4,6【变式】如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1. （1）求证：A1C/平面AB1D； （2）求二面角BAB1D的大小； （3）求点C到平面AB1D的距离.【巩固练习】1. 已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC的平面角为3，则KA 123B321C132D2312. 已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_3. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值4.如图，四棱锥P-ABCD中，ABC=BAD=90，BC=2AD，PAB与PAD都是等边三角形. （1）证明：CD平面PBD； （2）求二面角C-PB-D的平面角的余弦值.5. 如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.6. 如图，在三棱柱ABC中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，的中点，AB=BC=，AC=2（1）求证：AC平面BEF ;（2）求二面角BCDC1的余弦值；7.如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.(1) 求证：； (2) 若，求锐二面角的大小.8.如图，在四棱锥中，平面平面；，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成的角的正切值.9.如图，四棱锥中，地面，为线段上一点，为的中点（1）证明平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值.10. 如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面是等边三角形，且平面垂直于底面（1）若为的中点，求证：平面；（2）求证：；（3）求二面角的大小 11. 如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.(1)求与底面所成角的大小；(2)求证：平面；(3)求二面角的余弦值. 12. 如图,在三棱台中,平面平面,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证：EF平面ACFD； (2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.13. 如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值14. 如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值15. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点 （1）求证：平面PAD； （2）当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时， 直线平面PCD？16.如图，在长方体中，点在线段上.（1）求异面直线与所成的