浅谈导数的应用论文设计

本科毕业设计（论文）( 20xx届 ) 题 目： 浅谈导数的应用 学 院： 专 业： 学生姓名： 学号： 指导教师： 职称： 合作导师： 职称： 完成时间： 年 月 日 成 绩： 本科毕业设计(论文)正文目 录摘要.1英文摘要.11 引言12 导数在函数中的应用3 2.1 利用导数研究函数的切线方程3 2.2 利用导数解决函数的单调性问题4 2.3 利用导数求解函数的极值5 2.4 利用导数求解函数的最值6 2.5 利用导数研究函数图象交点（方程根）问题7 2.6 导数在函数凹凸性中的应用9 2.7 利用导数求方程的近似解103 导数在解不等式问题中的应用16 3.1 导数在不等式证明问题中的应用16 3.1.1 运用函数的单调性证明不等式16 3.1.2 运用导数求函数的极、最值（值域）证明不等式17 3.1.3 运用拉格朗日中值定理证明不等式18 3.1.4 运用柯西中值定理证明不等式20 3.1.5 运用导数求出函数的凹凸性证明不等式20 3.1.6 运用泰勒公式证明不等式21 3.2 导数在解决不等式恒成立问题中的应用22 3.2.1 带参不等式恒成立时求参数问题22 3.2.2 在确定的定义域中证明不等式恒成立问题23 3.3 导数在数列不等式中的应用244 导数在某些物理问题中的应用25 4.1 利用导数定义物理量26 4.2 利用导数定义物理规律（定律）26 4.3 利用导数计算物理极值275 总结28参考文献29浅谈导数的应用 浅谈导数的应用数理与信息工程学院 数学与应用数学专业 芦霞（09620108）指导老师：陈敏（讲师） 摘要：高中新课改中引入了导数的知识，使得导数成为解决数学问题的有力工具. 导数在函数、不等式证明以及物理问题中都有着重要的应用. 导数方法使得许多问题的求解过程变得简单方便. 本文就导数在以上几方面的应用进行了举例和总结，并对每种方法进行了小结和评价. 此外，我们还讨论了运用切线法和二分法来求解方程近似解的优劣. 关键词：导数；函数；切线法；不等式证明；物理问题The Applications of the Derivative LU Xia Director：CHEN Min(College of Mathematics, Physics and Information Technology, Zhejiang Normal University, 09620108)Abstract: It is well known that the derivative is a useful tool in solving mathematical problems. Recently, it has been well introduced in curriculum revolution of high school. The derivative has wide applications in functions, inequalities and physical problems. It makes much easier when we consider mathematical problems. In this article, we will mainly investigate the above three aspects of derivative. More precisely, we shall give some examples and then make some comments. Moreover, we will discuss the advantage and disadvantage of dichotomy and tangent in solving approximate solution.Key Words：derivative; function; tangent; proof of Inequality; physical problems1 引言导数是微积分的核心概念之一，最早是由法国数学家费马为研究极值问题而提出的. 无论在初等数学还是在高等数学中，导数都处于重要的地位，它是微积分的初步基础知识，是研究函数、证明不等式和解决实际问题的有力工具. 导数的应用涉及到很多方面：导数在函数中的应用，以此可判断函数的单调性、极（最）值、凹凸性和求函数的切线方程. 不等式证明在数学中也是一个很重要的课题. 利用导数在函数中的应用可证明不等式，利用微分中值定理（拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理等）也可证明不等式. 此外导数还可被应用于不等式恒成立问题中.高中数学中引入了导数，使得中学数学解题方法有了新突破. 在文献1中赵文芝老师提到在新课程中，利用导数求函数的切线，判断或论证函数的单调性，函数的极值和最值，并且这类题型成为近几年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一. 丁竑老师在文献2中结合他本人的教学实践，就导数在函数中的应用作了初步总结，并提出了导数的工具性作用. 刘义才老师在文献3中提到导数作为解决数学问题的有力工具，全面体现了数学的价值. 既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是利用导数来解决函数的单调性、极值、最值问题. 另外，利用导数可以研究函数图象的交点问题，陈崇荣老师在文献4中就这一问题提到函数试题中不断出现曲线交点的几何问题、方程解的代数问题，这类问题通常会涉及到高次方程或是超越方程，这时候若用初等数学来解比较棘手，若用导数这工具，问题便是迎刃而解. 利用导数还可判断函数的凹凸性,从而解决其它相关问题. 在文献5中，梁懿涛老师就提出在高考数学压轴题中常会出现涉及函数的构造、不等式的解法、导数的运算等诸多方面的内容，综合考察学生各方面的能力，对学生有极高的要求. 如果利用函数的凹凸性与洛比达法则，则可以起化巧为拙，以拙胜巧之奇效. 另外，不等式的证明是数学学习中的重要内容之一. 其常用方法有：比较法、分析法、综合法、归纳法、特殊不等式法等. 导数作为微积分学的基本内容，利用其证明不等式是一种行之有效的好方法，它能将某些不等式的证明化难为易，迎刃而解. 肖锡锰老师和黄龙源老师在文献6中提到可以用导数证明函数的单调性、凹凸性及求函数的极值等；而不等式有与之对应的函数，他就如何巧用导数为工具来证明不等式介绍了几种具体的证明思路和方法，包括运用函数的单调性证明不等式，运用拉格朗日中值定理证明不等式，运用导数求出函数的极值（或值域）再证明不等式，运用导数求出函数的凹凸性再证明不等式. 就不等式证明问题李文光老师在文献7中提出还可利用柯西中值定理证明不等式，而许娟娟老师在文献8中提出也可用泰勒中值定理证明不等式.导数除了在不等式证明中有应用，在解决不等式恒成立问题和数列不等式问题中也有着比较重要的位置. 在文献9中江宜坚老师提到利用导数求不等式恒成立问题有两种常见类型，并且指出数列不等式是高考命题的热点和难点，利用导数可以证明数列不等式的证明问题.导数在某些物理问题中也有应用. 唐复求老师在文献10中提到可以利用导数定义物理量. 陈水明和陈小艳老师在文献11中提出课利用导数定义物理规律（定律）. 此外，张春芸老师在文献12还提出了导数计算物理极值方面的应用.本文针对导数在以上几方面的应用进行举例，对部分问题的方法进行了小结及评价，并在这些已有应用的基础上提出一个新方面-导数在求解方程近似值中的应用，即利用切线法求方程的近似解问题. 由于利用导数求方程近似解还没有相关成果，故本文将对用切线法求方程的近似解和用二分法进行对比研究，得出导数应用在求解方程近似解问题中的优势.2 导数在函数中的应用函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法. 导数作为高中新教材的新增内容之一，为研究函数的有关问题提供了新的平台，同时也拓宽了高考数学命题的空间，而导数本身也由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具. 2.1 利用导数研究函数的切线方程切线的斜率：函数在点处的导数的几何意义，就是在点处的切线的斜率，即.也就是说，若曲线在点处的切线的斜率是，则相应的切线方程为.注意：函数在点处的切线与函数过点的切线是不一样的. 前者的切线的斜率是，后者的斜率不一定等于，除非点在函数上. 例1：已知曲线，过点作其切线，求切线方程. 解：对曲线求导，得. 当时，即所求切线的斜率为， 故所求切线的方程为，即.例2：求曲线在原点处的切线方程 陈鹏：导数在函数中的应用，新课程（教育学术），2011年第1期，第103页.解：显然，点不在曲线上. 对求导，得. 设切点坐标为，. 则过点的切线方程为. 点在切线上，将点代入切线得：， 即，故切线的方程为，即.我们可以发现，当点在曲线上时，可直接根据导数的几何意义求解，即求出曲线在该点的导数，也就是切线的斜率，从而求出切线的方程；当点不在曲线上时，应先设出切点的坐标，表示出切线方程，再把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求出切线方程. 由上面的例题分析可知，利用导数的几何意义-斜率，可以较有效地解决求曲线在某点处的切线方程的问题. 2.2 利用导数解决函数的单调性问题函数的单调性是函数的基本性质之一，一般可以采用定义法来判断，利用导数性质讨论函数的单调性时，只需求出导函数，再考虑导函数的正负即可.例3：已知函数，讨论函数的单调性.解：的定义域是，. 当时，则在单调递增； 当时，则在单调递减； 当时，令，解得， 当时，；当时，；综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递减；当时，在时单调递增，在单调递减.例4：已知是实数，函数，求函数的单调区间.解：函数的定义域为，. 若，则，的单调递增区间为； 若，令，得； 当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为；综上所述，当时，单调递增区间为；当时，单调递减区间为，单调递增区间为. 由上可知讨论函数的单调性与求函数的单调区间是同一类问题. 根据高中所学的知识，讨论函数单调性常用的方法有：函数单调性定义法，图象法，导数法. 一般情况下我们通常采用定义法，对于较容易画出函数图象的函数采用图象法，但是当函数的表达式较复杂时，采用导数法就能使求解过程简单便捷.因此导数法较其他两种方法更简单且适用性广. 用导数判断函数单调性的一般步骤如下：首先，求函数的定义域；然后，求函数的导数；之后，在定义域内解不等式或；最后确定单调区间. 2.3 利用导数求解函数的极值函数极值的定义：设函数在附近有定义，如果对附近的所有点都有，则是函数的一个极大值；如果对附近的所有点都有，则是函数的一个极小值，对应的极值点就是.例5：求函数的极值.解：由，解得或者. 当变化时，的变化情况如下（见表2-1）：表2-1 导数符号及增减性表+0-0+递增极大值递减极小值递增 当时，有极大值；当时，有极小值.例6：设函数，其中，求的单调区间和极值 徐军：导数在函数中的应用，新课程（中学版），2010年第12期，第54页.解：，令，得到或. ，通过列表（见表2-2）讨论可知：表2-2 导数符号及增减性表-0+0-递减极小值递增极大值递减 递减区间为，；递增区间为. 当时，； 当时，.函数极值问题是高中数学学习过程中的一个重点，同时它也是高中数学的一个难点，涉及到高中数学知识的各个方面. 由上可知，若采用导数方法来求解这类问题，能够简化解题过程，使得解题步骤更为清晰. 其一般步骤如下：首先，确定函数定义域，求导数；然后，求的根；最后，对每个实数根进行检验，判断在每个根（如）的左右侧，导函数的符号如何变化，如果的符号由正变负，则是极大值；如果的符号由负变正，则是极小值. 2.4 利用导数求解函数的最值求解函数最值的方法有很多，如配方法、均值不等式法、判别式法、导数法等. 根据不同的题目，如高次方程，采用导数法更加简便.例7：求函数的最值，.解：，令，得或. 当时， 在区间上为减函数， ，.例8：已知是实数，函数，求函数在区间上的最大值 丁竑：浅谈导数在函数中的应用，新课程导学，2010年第31期，第32页. 解：，则. 令，得或， 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 因此若，则，若，则.综上所述，当时，；当时，.函数的最值问题同样是高中数学知识的考查重点，不仅在函数综合题中出现，还在几何、应用题中出现. 要注意区分极值和最值的定义，极大值不一定是最大值，反过来最大值也不一定是极大值，极小值也一样. 函数极值是一个局部性概念，而最值是某个区间的整体性概念；极值可以有很多个，而最值只有一个. 对一般函数而言，求可导函数最值时，不必讨论导数为零的点是否为极值点，直接将导数为零的点和端点处的函数值比较大小即可.由上可知，对于3次及3次以上的方程，采用导数法来求函数的最值较其他方法更加方便. 求函数在某闭区间的最值的一般步骤如下：首先，求出；然后，令，解出函数的所有驻点；最后，求出函数所有驻点和边界点处的函数值，其中最大的值即为函数的最大值，其中最小的值即为函数的最小值. 2.5 利用导数研究函数图象交点（方程根）问题在高考题中，函数试题不断出现曲线交点的几何问题、方程解的代数问题，这些问题通常会涉及到高次方程或是超越方程，这时候若用初等数学来解比较棘手，若用导数这工具，问题便迎刃而解.例9 ：若曲线存在垂直于轴的切线，求实数取值范围 陈崇荣：导数在研究函数中的应用举例，数理化学习（高中版），2012年第3期，第9页.解：该函数的定义域为，导数为， 由题意存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题就转化为在 范围内导函数存在零点. 将转化为和存在交点. 当，不符合题意；当时，如图2-1所示，数形结合显然没有交点；当时，如图2-2所示，此时正好有一个交点，故有. 的取值范围为. 图2-1 图2-2例10：已知，是否存在实数，使得的图象与的图象有且仅有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.解：的定义域为，函数的图象与函数的图象有且仅有三个不同的交点，即的图象与轴的正半轴有且仅有三个不同的交点. ， ， 当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或，. 当充分接近时，；当充分大时，； 要使图象与轴的正半轴有三个不同的交点，必须且只须满足， 即，存在使的图象与的图象有且仅只有三个不同的交点的，的取值范围为.由上可知，讨论方程根的存在性及个数的问题时，导数是一个很好的工具，运用导数知识，可以将复杂棘手的问题转化成我们能够解决的问题. 在这一类问题的处理上关键是将方程的问题转化成函数的零点问题或者函数图象交点问题，再利用导数讨论函数的性质结合根的存在性定理及函数的图象综合来解决问题. 2.6 导数在函数凹凸性中的应用定理1：如果函数在区间上二阶可导，则在区间上是凹函数的充要条件是；在区间上是凸函数的充要条件是.定理2：如果和满足：()（或）；()在点的空心领域内两者可导，且；()（可以是实数，也可以是），则. 这种以导数为工具研究不等式（或型）的极限的方法，称为洛必达法则.例11：已知函数，曲线在点处的切线方程为. （）求的值；（）如果当，且时，求的取值范围.解：（）当时，将代入切线方程，得， 则，. 当时，所以. 综上所述，. （）当，且时， 对，且恒成立. 令， 令， ，在内单调递增. ，时，单调递减；时，单调递增. ，在内单调递增，时，单调递减；时，单调递增. 从而，从而所求. 我们发现，这类导数题涉及到函数的构造、不等式的解法、导数的运算、应用（极值与单调性）以及恒成立等诸多方面的问题，如果利用函数的凹凸性和洛必达法则，则可以将巧妙的技巧用一般的方法来求解. 2.7 利用导数求方程的近似解在中学数学的学习过程中，我们已经掌握了求一次方程，二次方程以及和它们有关的简单方程的解的方法，对于一次方程可以直接代入求解，对于二次方程可以利用求根公式求解. 然而在实际生活的应用中和科学技术问题的研究中，我们发现问题所涉及的方程不再是简单的一次、二次方程，常常会遇到类似超越方程，高次代数方程或其他类型的方程的问题. 对于求解这类方程的实根的精确值，往往比较困难，不再是简单地利用求根公式就可以解决的. 因此我们需要尝试寻求好的方法来求解这类方程的近似解.在高中课程的学习中，遇到求方程近似解问题，一般我们都会采用二分法，即通过计算机编出可执行的程序，输入初始值，求出方程足够精确的近似解. 2.7.1 二分法 二分法定义： 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 二分法的步骤：（1）设在区间上连续，且方程在内仅有一个实根，于是即是这个根的一个隔离区间.（2）取的中点，计算.（2a）如果，那么；（2b）否则，若与同号，那么取，由，即知，且；若与同号，那么取，也有及；总之，当时，均可求得，且.（3）以作为新的隔离区间，重复上述做法，当时，可求得，且. 如此重复次，可求得，且，由此可知，如果以或作为的近似值，那么其误差小于. 例12：用二分法求方程的近似解（精确度和）. 解：令，显然在内连续。 由知在上单调递增，至多有一个实根.由，得，可知在内有唯一实根. 取，即是一个隔离区间. 计算得：，故；，故；，故；，故； 由于，于是，即作为根的不足近似值，作为根的过剩近似值，其误差都小于. 当精确度为时，以和作为近似值都可以.，故；，故；，故；，故；，故；，故；，故；，故；，故；，故； 由于，于是 ，即作为根的不足近似值， 作为根的过剩近似值，其误差都小于. 当精确度为时，以和作为近似值都可以.通过以上例题的计算可以发现，当精确度为时，求近似解计算过程相对来说还不算太繁杂，经过4个步骤即可求出满足精确度的近似解. 但是当精确度改为时，一直经过14个步骤才求得满足精确度的近似解，求解过程相当繁琐，数据复杂，并且计算量及其庞大，因此利用二分法求方程的近似解只适用于简单且精确度较小的方程，并不是一般方程求近似解的最佳的方法. 2.7.2 切线法学习了导数知识后，我们知道导数是解决数学问题的有力工具，若借助导数这个数学工具，采用切线法来求方程的近似解可以简化步骤，使得求解的过程较二分法来看更加简单方便.切线法定义：设在上具有二阶导数，且及在上保持定号. 在上述条件下，方程在内有唯一的实根，为根的一个隔离区间. 此时，在上的图形只有如下图所示的4中不同情形.考虑用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值. 这种方法叫做切线法. 从图中看出，如果在纵坐标与同号的那个端点（此端点记作）作切线，这切线与轴的交点的横坐标就比更接近方程的根. 以图（3）：的情形为例进行讨论. 此时因为与同号，所以令，在端点作切线，这切线的方程为. 令，从上式中解出，就得到切线与轴交点的横坐标为，它比更接近方程的根. 再在点作切线，可得根的近似值. 如此继续，一般的，在点作切线，得根的近似值. （2-1）如果与同号，切线作在端点（如情形（1）（4），可记，仍按公式（2-1）计算切线与轴交点的横坐标. 例13：用切线法求方程的近似解，使误差不超过. （采用与例12同一例题，将精确度改为只求）.解：令，由上知是根的一个隔离区间， . 在上， ，故在上的图形属于情形（1）. 按与同号，令，连续应用公式（2-1），得 至此，计算不能再继续. 注意到与同号，知 ，经计算可知，于是有， 以或作为根的近似值，其误差都小于. 从例13的计算中发现，对于同一个方程，当精确度变为时，整个过程只采用了4个步骤，即求得了满足精确度的近似解，因此通过对比可以发现采用切线法的整个求解过程较二分法而言大大减少了计算步骤和计算量，而且使得求近似解过程不再那么繁琐，而结果是依然能求得较精确的近似解. 所以从例题12和例题13在精确度为时的对比中可知，切线法相比于二分法，更适用于当精确度较小时求方程的近似解问题，因此采用切线法求方程的近似解是一个不错的方法，同时也体现了导数的应用价值. 3 导数在解不等式问题中的应用导数是研究函数的有力工具，而不等式与导数又有着千丝万缕的联系，因此导数在分析和解决一些不等式问题上有着重要作用，能使不等式问题变得非常方便. 其中导数与函数的最（极）值问题，函数的单调性问题联系比较紧密，是较多知识点的交汇处，甚至在数列证明、不等式证明（恒成立）问题中都有着比较重要的位置，尤其在解决不等式的问题中，若能及时构造出适当的函数，再利用导数的方法研究函数，最后得到所要结论，更会有事半功倍之功效. 3.1 导数在不等式证明问题中的应用 3.1.1 运用函数的单调性证明不等式由第一部分导数在函数中的应用可知，利用导数法能讨论函数的单调性，且适用性广. 对于一些不太容易证明的不等式，借助导数思想，先根据待证的不等式构造一个适当的函数，再判定构造所得的函数的单调性，最后根据单调性证明不等式成立. 例14：求证：当时， 肖锡锰、黄龙源：巧用导数解不等式，中国科技信息，2008年第1期，第249页. 证明：设， ， 在上是单调递增的. 又，即， 又设， ，在上是单调递减的. 又， 即，综上证得，. 例15：已知函数，证明：在区间上，函数的图象在函数的图象下方.证明：设，即， 则， 当时，在上为增函数， . 当时，即，故在区间上，函数的图象在函数图象的下方.上述是运用函数的单调性证明不等式的两种常见题型. 由上可知，处理在某一定义域内，比较两个函数大小的问题时，若采用函数的一般方法和知识点证明，局限性很大，且过程繁琐，然而利用导数思想，以上题型均可根据待证不等式构造一个函数，再利用导数证明该函数的单调性，进而证明不等式. 导数思想的应用，可以化繁为简，更有效地证明不等式. 利用函数的单调性证明不等式关键是构造辅助函数，构造辅助函数有以下几种方法：（1）用不等式的两边“求差”构造辅助函数；（2）用不等式两边适当“求商”构造辅助函数；（3）根据不等式两边结构，构造“形似”辅助函数；（4）如果不等式中存在幂指函数形式，通过取对数将其化为比较容易证明的形式，再根据具体情况采用上面所列的方法构造辅助函数. 3.1.2 运用导数求函数的极、最值（值域）证明不等式 由第一部分导数在函数中的应用可知，导数的其中一个作用就是求函数的极、最值（值域）. 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的极值，并与定义域端点处的函数值作比较，求出最值（值域）；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把证明不等式问题，转化为函数求最值问题. 例16：求证：当时，其中 肖锡锰，黄龙源：巧用导数解不等式，第249页. 证明：设， ，令，解得驻点. ， 的最大值为，最小值为. ，.例17：函数，当时，求证：.证明：， 当时，即在上单调递减， ， 在的值域为. 当时，. 即有得证.由上可知，利用函数的极、最值来证明不等式，能使得证明思路更加的清晰，且方法上来看更加简单，能够更好地避免不等式证明中的一些转化、放缩等问题，因为在不等式的证明中，转化与放缩是难点所在. 所以以后遇到当函数取最大（或最小）值，不等式都成立的问题时，我们可以把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题. 因此利用导数求函数的极值、最值（值域）是不等式证明的一种重要方法. 其一般步骤如下：首先，确定函数自变量所在的区间；然后，对函数求导，确定函数在区间上的极值，从而确定最值；最后，由最值得到不等式. 3.1.3 运用拉格朗日中值定理证明不等式若函数含有一二阶导数，而要证的不等式的两端含有的函数值，特别是的表达式不知道或不等式中含有的导数时，常用拉格朗日中值定理去证明.拉格朗日中值定理：若函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导，则在开区间内至少存在一点，使等式成立.在拉格朗日公式中，由于是内的一个点，故可以表示成的形式，于是定理的结论就可以改为在中至少存在一个值，使.例18：已知，证明不等式肖锡锰，黄龙源：巧用导数解不等式，第249页. .证明：当时，不等式中等号成立，即； 当时，令， 则在闭区间上满足拉格朗日中值定理条件， 故存在，使，即. 由，可知， 又，即， 综上所述，当时，有.拉格朗日中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，虽然它的结论形式似乎是一条等式，但由于，因此将有一个取值范围，于是就可以将等式转化为不等式. 由上可知，若所要证明的不等式含有改变量或可以生成改变量，则可以考虑用拉格朗日中值定理证明不等式. 其一般步骤如下：首先，分析不等式的具体特点，构造一个函数， ，这是证明的关键一步；然后，判断函数在区间上是否满足拉格朗日定理的两个条件，若满足，得出结果：；最后，根据待证不等式的特点，利用及的性质，将上式进行适当变形，使不等式得以证明. 3.1.4 运用柯西中值定理证明不等式柯西中值定理：设函数，满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）对，有，则至少存在一点使得. 例19：设，证明： 李文光：应用导数方法证明不等式，科技信息，2010年第5期，第281页. 证明：设函数，则，. 因为，在闭区间上满足柯西中值定理的条件，故存在，使得.设，考察，当时，在时单调递减，所以，即，所以.柯西中值定理是研究两个函数变量关系的中值定理. 在柯西中值定理中，若取时，则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同. 所以柯西中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广；反之，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一个特例，因此所有能用拉格朗日中值定理证明的不等式一定能用柯西中值定理证明，但是反过来则不一定. 当待证的不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数，或两个函数的函数增量及其一阶导数时，可用柯西中值定理证明. 其证明一般步骤如下：首先，构造两个函数和，并确定它们的区间；然后，对与在上使用柯西中值定理；最后，利用与的关系，对柯西公式进行加强不等式. 3.1.5 运用导数求出函数的凹凸性证明不等式定理1：如果函数在闭区间上连续，在开区间内有一、二阶导数，则（1）若时，恒有，则曲线在区间内为凹函数；（2）若时，恒有，则曲线在区间内为凸函数.定理2：若函数在开区间内有凹（凸）函数，则对，有（）.由导数在函数中的应用可知，可以利用导数求出函数的凹凸性，对于二元函数，不能用上述方法证明不等式时，可以考虑用凹（凸）函数定义（定理1）及其性质（定理2）来证明.例20：设，求证：.证明：设，则.在区间或，上是凹函数.即 . 由上可知，函数的凹凸性定理反映的是一个二阶可导函数，它的二阶导数符号与凹凸性之间的关系. 利用函数的凹凸性证明不等式时：先要构造适当的二阶可导函数，再判断此函数的二阶导数符号，然后根据二阶可导函数的符号判断函数的凹凸性，最后利用凹凸性的定义得到相应的不等式，从而证明不等式. 利用函数的凹凸性证明不等式，关键是构造出能够解决问题的二阶可导函数，此方法虽然有一定的构造性，但其过程却是十分的简便. 3.1.6 运用泰勒公式证明不等式运用泰勒公式证明不等式就是把所要证的不等式适当变形，把其中的函数用泰勒公式展开，再把展开式右边进行放大或者缩小，从而推证要证的不等式. 带拉格朗日余项的泰勒公式：若函数在包含的某个开区间内有直到阶的导数，则当时，有其中，（介于与之间）.泰勒公式揭示了多项式与函数之间的关系. 用泰勒公式证明不等式，主要是利用介于与之间，通过估计余项可得相应的不等式.例21：证明：. 证明：设， 则在处有带有拉格朗日余项的三阶泰勒公式： ， 又由 即得. 由上可知，如果函数的二阶和二阶以上导数存在且有界，则可以利用泰勒公式证明这些不等式. 使用泰勒公式来巧妙灵活的证明不等式往往能使证明过程方便简捷. 证题思路：首先，写出比最高阶导数低一阶的泰勒展开式；然后，恰当选择等式两边与；最后，根据最高阶导数的大小或边界对展开式进行放缩. 3.2 导数在解决不等式恒成立问题中的应用不等式恒成立问题中既含参数又含变量，它常常与函数、数列、方程、几何等有机地结合起来，形式灵活，思维性强，是不同知识交汇. 不等式恒成立问题通常有两种类型：一是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围；二是证明某个不等式恒成立. 在近几年的高考试题中，解答题几乎都涉及到了此类问题，解决这类问题方法的关键是转化化归，即等价转化，并且这类问题若用导数工具来解决，就更突显了导数的简便性和灵活性. 3.2.1 带参不等式恒成立时求参数问题形如“”或“”型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，许多复杂的恒成立问题最终都可归结为这一类型. 根据恒成立的本质，我们可以转化为或. 例22：设函数. （1）求函数的单调区间；（2）已知对任意成立，求实数的取值范围. 解：（1）单调递增区间为；单调递减区间为. （2）对两边取对数，得. 由于，所以. 由（1）的结果知，当时，为使式对所有的成立，即. 在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法. 由上题可知，此类问题解题的关键是根据给定的不等式，构造题设中的函数，进而通过分析题设中函数的最值求解. 3.2.2 在确定的定义域中证明不等式恒成立问题对证明时，恒成立问题，可转化为对时，恒成立问题；反之，对证明时，恒成立问题，可转化为对时，恒成立问题.例23：设，.（1）令，讨论在上的单调性；（2）求证：当时，恒有.证明：（1）， 当时，单调递增； 当时，单调递减.（2）由知，的极小值，由（1）知，对一切，恒有. 从而当时，恒有，故在内单调递增，所以当时，即. 故当时，恒有. 上题即为不等式的恒成立的证明问题，题中利用第一小题的结论：即在内的单调性，将问题转化为求或. 因此，遇到此类型问题时，依然可以采用构造函数法，构造适当的函数，进而利用导数法分析构造的函数的最值，从而证明不等式. 3.3 导数在数列不等式中的应用由上文可知导数是解决函数问题的有力工具，更为数学解题注入了新的活力. 由于数列可看做特殊的函数，所以自然而然可以联想并尝试用导数来证明数列不等式. 纵观近几年高考题，数列不等式始终是命题的热点内容之一，且数列不等式的证明，又是考查的热点内容中的难点. 所以若能利用导数法来证明数列不等式，则可以更好地解决此类问题. 例24：已知数列中，当时，其前项和满足. （1）求的表达式；（2）求数列的通项公式； （3）设，求证：当且时，.解：（1）， 是等差数列， 即. （2）当时， . （3）令，当时，有， 求证等价于求证. 当时，令， ， 在上单调递增. 又， ，即.数列可以看做是一类特殊的（离散）函数，例如把等差数列的通项与其前项分别看作是自然数的一次和二次函数；而等比数列的通项与其前项和可以看作是自然数的指数函数等，这样我们就能从函数的角度看数列，用导数的证明数列不等式. 由上题可知，这种不等式的证明，我们通常会用数学归纳法来证明，但是如果把数列看作是定义域上的函数，利用导数来证明不等式，则是一种不错的选择. 4 导数在某些物理问题中的应用“应用数学工具解决物理问题的能力”是高中物理教学大纲中明确指出的物理教学的一项重要内容，它要求学生能够根据具体问题列出物理量之间的关系，进行推导和求解，然后根据结果得出物理结论. 近两年在高中新教材中引入了导数知识，主要介绍了导数的一些基本公式和求导的运算法则及导数的一些应用. 而导数在高考物理中有着广泛的用途，能使学生对一些物理知识有更为深刻的理解. 数学与物理两个学科知识的相互渗透，更能培养学生科学的思维方法，提高学生的抽象能力、科学能力和综合应用能力. 4.1 利用导数定义物理量导数就是一个量对另一个量的变化率，所以在物理教学中，常常用导数来定义物理量. 例如，位移对时间的导数为速度；加速度是速度对时间的导数，也叫位移对时间的二阶导数；质量对体积的导数为密度；电压对电流的导数为导体的电阻；电流强度是通过导体横截面电量对时间的导数等等. 例25：质点振动的位移方程为：，求质点振动时的速度和加速度.解：根据速度的导数定义. 当时，. 根据加速度的导数定义可知： ， 当时，.由上面的结果可知，质点振动末时，正在以的速度向着与规定的正方向相反的方向运动，这一瞬间加速度；根据这一方法，还可以求出其他时刻的速度、加速度情况，这样分析简谐运动的速度、加速度关系，能更科学、深刻地解决问题，也为我们提供了一个解决物理问题的新途径. 4.2 利用导数定义物理规律（定律）除了一些物理量能用导数来定义以外，有些物理定律也能用导数来定义. 例如法拉第电磁感应定律：电路中感应电动势大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比，对于单匝线圈有：（是穿过电路的磁通量）；如牛顿第二定律：物体所受的合外力等于物体的动量变化率，即（为物体的动量）等，故利用此类定律处理物理问题时也可以利用导数推导计算.例26：正弦式交流电规律的推导：如图4-1所示，一线框由匝线圈组成，每匝线圈的面积为，在磁感强度为的匀强磁场中绕垂直于磁感线的轴以角速度匀速转动，线圈中就产生正弦式交流电. 已知线框电阻为，外电阻为，从中性面开始计时.解：穿过线框磁通量的瞬时值表达式为. 若