等差数列综合应用

第六课时 等差数列综合应用【知识与技能】进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前n项和公式研究Sn的最值，初步体验函数思想在解决数列问题中的应用；掌握裂项相消法求数列的和【重点难点】重点：等差数列前n项和公式的掌握与应用，裂项相消法求数列的和难点：灵活运用求和公式解决问题【教学过程】一、要点梳理1等差数列通项公式：，首项:，公差:，末项:变形公式：；2等差数列的前n项和公式：（其中是常数，当时，是二次项系数为，图象过原点的二次函数）3等差数列的性质（1）等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列；（3）当时,则有，特别地，当时，则有；（4）等差数列an中，其前项和为Sn，则an中连续的项和构成的数列Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，构成等差数列；（5）设数列是等差数列，为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前项的和.若当项数为偶数时， ，若当项数为奇数时，（其中是项数为的等差数列的中间项）；（6）、的前和分别为、，且，则；（7）若，则 ；（8）若 .4求的最值法一：因等差数列前项和是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和。即当 由可得达到最大值时的值（2）“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。即 当 由可得达到最小值时的值或求中正负分界项。法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若 则其对称轴为。5等差数列的判定方法 （1）定义法：若或(常数) 是等差数列 （2）等差中项：数列是等差数 （3）数列是等差数列（其中是常数）。（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。二、合作探究类型1 等差数列前项和的性质 【例1】(1)在等差数列an中，若S41，S84，则a17a18a19a20_(2)有一个共有100项的等差数列，其奇数项与偶数项之和分别为100和200，则公差d_【练习1】等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项的和【练习2】若表示等差数列的前项和，则 【练习3】在等差数列中，则 【练习4】在等差数列中，则 【练习5】已知两个等差数列和的前项和分别为，且，则使得为整数的正整数的个数为 【练习6】设是等差数列的前项和，若，则 类型2 等差数列前项和的最值问题 【例2】数列an是等差数列，a150，d0.6.(1)从第几项开始有an0；(2)求此数列的前n项和的最大值【练习】等差数列an中，a10，S170，则使得前n项和Sn取得最小值时的正整数n的值是()A4和5 B5和6 C6和7 D7和 84已知数列an是通项an和公差都不为零的等差数列，设Sn，则Sn等于()A. B. C. D.5已知一个等差数列an的前12项的和为354，前12项中偶数项的和S偶与前12项中奇数项的和S奇之比为，求此数列的公差d.6已知等差数列an中，a19，a4a70.(1)求数列an的通项公式；(2)当n为何