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-,1,第九章重积分及*曲线积分,一、二重积分的概念、性质,二、二重积分的计算,1.直角坐标系下二重积分的计算,2.极坐标系下二重积分的计算,-,2,一、二重积分的概念、性质,1.二重积分的定义(和式的极限),3.二重积分的性质,(与定积分性质相似),机动目录上页下页返回结束,2.二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（1）若D为X型区域,则,二、二重积分的计算,=,先y后x的二次积分,1.直角坐标系下二重积分的计算：,穿线定内限，夹线定外限,根据积分区域的形状以及被积函数的特点，适当选择直角坐标或极坐标，选择积分次序.,（2）若D为Y型区域,则,=,先x后y的二次积分,-,5,(3)若积分区域既是X型区域又是Y型区域,既可采用先y后x的二次积分，也可采用先x后y的二次积分，为计算方便,可选择适当的积分次序.,(4)若积分域较复杂,可将它分成若干部分，使每部分,是X-型区域或Y-型区域,则,直角坐标系与极坐标系下的二重积分之间的关系：,2.利用极坐标系计算二重积分,积分限确定方法:,穿线定内限，夹线定外限.,将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行“三换”：,（1）极点在区域外部（如图1）,具体地分以下几种情况讨论如下：,图1,设,则,（2）极点在区域的边界（如图2）,图2,设,则,（3）极点在区域内部（如图3）：,图3,设,则,例1.计算,其中D是直线y1,x2,及,yx所围的闭区域.,解法1.将D看作X型区域,则,解法2.将D看作Y型区域,则,例2.计算,其中D是抛物线,所围成的闭区域.,解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线,则,例3.计算,其中D是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D为X型域:,先对x积分不行,-,13,解二,D：,Y型,D,例4计算,解一,D：,X型,解,-,15,解,在极坐标系下，区域D可表为：,-
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