初中题目“第一次数学危机”课件.ppt

1,3第一次数学危机,2,历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的挫折叫做危机。危机意味着挑战，危机的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。,一、什么是数学危机,危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的。人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；引进分数使乘法有了逆运算除法。,接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理数来表示?于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”。可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学。,5,二、毕达哥拉斯学派和他们的“万物皆数”,1.毕达哥拉斯Pythagoras(约前570年前500年）毕达哥拉斯是公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。,6,毕达哥拉斯(公元前570年公元前500年),7,毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德的思想产生很大影响。,8,相传“哲学”（希腊原词意为“智力爱好”）和“数学”（希腊原词意为“可学到的知识”）这两个词是毕达哥拉斯本人所创。,9,2.毕达哥拉斯学派在数学上的贡献,1）数学证明的起始泰勒斯毕达哥拉斯欧几里得证明是要有假设的:公设、公理及定义。许多人推测，欧几里得几何原本前两卷的大部分材料，来源于毕达哥拉斯学派。,10,2）数学抽象的提出从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，本身就把数学推向了科学。3）毕达哥拉斯定理即“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”。在中国叫商高定理或勾股定理。,11,周髀算经中的“勾股定理”（约公元前700年）,周髀算经卷上记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三股修四经隅五”，这是勾股定理的特例。卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”,12,中国数学史上最先完成勾股定理证明：公元3世纪三国时期的赵爽。赵爽注周髀算经，作“勾股圆方图”，其中的弦图，相当于运用面积的“出入相补”方法（刘徽），证明了勾股定理。如图,13,14,西方文献中称此定理为毕达哥拉斯定理。曾经有人编书，收集了勾股定理的370种证法。,卡盟排行榜卡盟,MicrosoftOfficePowerPoint，是微软公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪或者计算机上进行演示，也可以将演示文稿打印出来，制作成胶片，以便应用到更广泛的领域中。利用MicrosoftOfficePowerPoint不仅可以创建演示文稿，还可以在互联网上召开面对面会议、远程会议或在网上给观众展示演示文稿。MicrosoftOfficePowerPoint做出来的东西叫演示文稿，其格式后缀名为：ppt、pptx；或者也可以保存为：pdf、图片格式等,16,3.毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说,1）“万物皆数”学说数，是世界的法则毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整数，同时还包含它们的比，即正分数。任意两条线段a、d都是可公度的“可公度的”，意即有公共的度量单位t。,17,2）实例形数三边形数、四边形数、五边形数、六边形数；,18,三边形数,四边形数,五边形数,六边形数,19,“形数”体现了数与形的结合；让我们从又一个侧面了解“万物皆数”。毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说，加强了数学中的理论化倾向。,20,多个场合下的小整数比产生谐音的各个弦的长度成小整数比绷得一样紧的两根弦，若其长度成小整数比，就会发出谐音。例如，12时短弦的音高8度，23时短弦音高5度，34时短弦音高4度；当三根弦的长度之比为346时，就得到谐音。,21,同名正多边形复盖平面的情形（即铺正多边形地砖的情形）只有三种情况：环绕平面上一个点可以紧密地放6个正三角形，或者4个正方形，或者3个正六边形，如图：,22,23,毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和谐在于数”，神是以数的规律创造世界的。“万物皆数”学说产生了很大的影响。,24,三、与第一次数学危机,对“万物皆数”理论产生冲击的，却正是毕达哥拉斯学派自己的一个发现，用现在的符号，这就是。,25,1.的发现和危机的产生,根据毕达哥拉斯定理，边长为1的正方形，其对角线长度若记为，则，推出,1）一个不能表成整数比的数,26,下边证明，当时，不能表成整数比。,由此知是偶数。由于偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数，是偶数。,如果不然，有两个正整数和使（不妨设是既约分数即）。两端平方得，即。,27,因“既约”，不能再是偶数，于是是奇数。这样的左端，因是奇数而不能被4整除，右端却因是偶数而可以被4整除。这个矛盾说明开始的假设是错误的。从而不能表成两个整数的比。证毕。,注：这是“反证法”的开始。,28,2）不可公度的线段设正方形的边长为，对角线长为，如图：,da,a,29,根据毕达哥拉斯定理，。如果存在第三个线段长为，使得和都是的整数倍，如，这里，是整数.,30,由得，从而，又可以类似于上一个证明导出矛盾。,于是，与就是不可公度线段。,所以，不可能存在长度为的线段，使得且。,（严重：“可公度”涉及“成比例”，进一步还涉及“相似形”）,31,3）危机产生，封锁消息希帕索斯泄露秘密，被抛进大海。,希帕索斯(Hippasus),32,4）无理数像这样的数，和其它一些不能表成整数比的数，称为无理数。称两个整数之比为有理数，而把那样的一类数叫做无理数，即没有道理的数，原来是翻译出了问题。,33,rationalnumber是有理数的英文名称，而rational是一个多义词，含有“比的”，“有理的”意思。而词根ratio来自希腊文，完全是“比”的意思。对“rationalnumber”正确的翻译应该是“比数”。“比数”的名称才正确反应了这类数是两个整数之比的内涵。人类在认识有理数之前，唯一知道的是自然数。那时所谓的“数”，都是自然数。把由自然数产生的数叫做比数，其实才符合古人的原意。,34,在东方，最早把rationalnumber翻译过来的是日本人。可能是那个日本人英文不好，数学又不太懂，把它翻译成“有理数”。而日本文字又和汉字形似，于是中国人把这三个字照搬过来，沿用至今，形成习惯。如果正确地把两个整数之比叫做“比数”，那么像一类的数称为“非比数”，还是颇有道理的。,35,2.“两个量的比相等”的新定义部分地消除了危机,36,两个量的比相等，即。约公元前370年，希腊数学家欧多克索斯和阿契塔的定义：“称四个量的第一个和第二个之比与第三个和第四个之比相等，如果取第一个和第三个量的任何相同的倍数，第二个和第四个量的任何其他的相同倍数后，从第三个量的倍数大于、等于或小于第四个量的倍数，便有第一个量的倍数对第二个量的倍数的相应关系”。,37,“两个量的比相等”的这一定义，是正确的、严格的，部分地解决了危机，使几何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。欧几里得的几何原本中也采用了这一定义，以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数学的基础。但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖于数系的扩充和实数理论的建立。,38,3.无理数与数系的扩张危机的解决1）有理数的稠密性定义：“一个数集在数轴上是稠密的”是指，在数轴上，每一个不管处于什么位置，也不论是多么小的区间（,）中都存在着这个数集中的点。定理：有理数集在数轴上是稠密的。,39,2）数轴古代观点：数轴有理数现代观点：数轴实数,40,3）数系的扩张危机的解决自然数系有理数系实数系,41,实数系具有连续性。有理数系具有稠密性,却不具有连续性。数系的连续性和稠密性是两个不同的概念。数系的稠密性，通俗说成“到处都有”、“密密麻麻”；数系的连续性，通俗说成“一个挨一个”、“针插不进，水泼不进”。连续性是一个很好的性质。但是对“数系的连续性”的概念，给出严格的数学定义，就那么容易了。,数系扩张为实数系以后，第一次数学危机就彻底解决了。因为数的范围扩充以后，“万物皆数”的命题就是正确的了；不能表成整数比的数，即无理数，也是实数系中的数了。,42,43,思：能说“任何两个有理数之间都有无理数”吗？为什么？,44,四、反证法与无理数,1.反证法1）反证法的威力,45,例：有数学书、物理书、外语书共十本。证明：在这三种书籍中，有一种书籍至少有四本。穷举法：数学书1099888777700物理书0010120123010外语书0102103