八年级下学期-分式的单元复习与巩固

分式单元复习与巩固 一、知识网络二、目标认知学习目标1以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的 一类代数式2类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则 3类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则4结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系5结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解 方程中的化归思想重点1分式的基本性质；2分式的四则运算；3分式方程的解法难点1分式的四则混合运算；2根据实际问题列出分式方程，解决实际问题三、知识要点梳理知识点一、分式的有关概念及性质1分式如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子就叫做分式。分式中，A叫做分子，B叫做分母。分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B0时，分式才有意义。2分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。如果分子分母有公因式，要进行约分化简。知识点二、分式的运算1约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。约分需注意事项：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式 的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积。2通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字 母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积。(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉。3基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似 ,具体运算法则如下:（1）加减运算 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 ； 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 （2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。（3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘。（4）乘方运算 （分式乘方） 分式的乘方，把分子、分母分别乘方。4零指数.5负整数指数6分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的。知识点三、分式方程1分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程2分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程 3分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知 数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现 不适合原方程的根-增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根验根的方法是将所得的根带入到 最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解。知识点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解。另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性。四、规律方法指导（一）分式的概念需注意的问题（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含 有括号的作用；（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母（二）约分需明确的问题（1）对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因 式的思考过程相似；（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式（三）确定最简公分母的方法（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数。（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.（四）列分式方程解应用题的基本步骤（1）审仔细审题，找出等量关系；（2）设合理设未知数；（3）列根据等量关系列出方程；（4）解解出方程；（5）验检验增根；（6）答答题。经典例题透析类型一：分式及其基本性质1当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）A. B. C. D. 思路点拨：一个分式有无意义，取决于它的分母是否等于0。即若是一个分式，则有意义B0。当x0时，x20，所以选项A不是；当x时，2x10，所以选项B不是；因为x20，所以x210，即不论x为何实数，都有x210，所以选项C是；当x1时，x10，所以选项D不是。【答案】：C。总结升华：分式有意义的条件是分母不为零，无意义的条件是分母为零。2若分式的值为零，则x的值为 思路点拨：根据分式的值为零的条件，即：如果是一个分式，且0可以得到A0 ，B0.解析：由2x40，得x2. 当x2时x10，所以x2；总结升华：分式等于零的条件是：分子等于零，分母不等于零，两个条件缺一不可。举一反三：【变式1】（1）若分式的值等于零，则x_；（2）当x_时，分式没有意义【答案】（1）由0，得x2. 当x2时x20，所以x2；（2）当x10，即x1时，分式没有意义3下列各式从左到右的变形正确的是（ ）A BCD思路点拨：本题考察的是分式的基本性质，可类比分数的基本性质来思考。A的分子分母都乘以2，左边右边。故A对.而B中左边要使小数系数化为整数系数，分子分母都需乘以10，结果为故B不对。C考察的是分式的符号法则，变号时应将分子、分母看成一个整体，不能只变第一个字母的符号。D的右边是左边的倒数，左边不等于右边。【答案】A总结升华：分式的恒等变形用的是分式的基本性质，可类比分数的基本性质来进行。【变式】如果把分式中的x,y都扩大10倍,那么分式的值一定( )A扩大10倍 B扩大100倍 C缩小10倍 D不变【答案】D提示：原式化为类型二：分式运算4化简分式思路点拨：本题若通过常规方法：各分式通分计算非常复杂；根据分式特征，可通过约分化简分式后再计算，这是分式计算常用的技巧我们在通分之前，先要观察分式的特征，多项式能先因式分解的先因式分解，能先约分化简的尽量先约分以达到简便计算的目的解析：原式总结升华：观察题目中分式的特点是寻找解题思路的关键【变式1】（2011江苏泰州）【答案】原式a【变式2】整体通分法计算：分析：本题若把，1单独通分，则运算较为复杂；一般情况下，把分母为1的整式看作一个整体进行通分，运算较为简便【答案】原式5（1）巧用裂项法计算：思路点拨：本题出现了10个分式相加，无法直接通分；而本题分式的特征比较特殊，事实上分式，凡是符合上述特征的分式都可适用裂项法，裂项后便可以相互抵消，起到简便运算的功效解析：原式 总结升华：分式计算时先对分式的分子与分母因式分解有利于发现分式之间的联系【变式】计算：解析：原式（2）分组通分法计算：【答案】原式 （3）分子降次法计算：【答案】原式 （ x1）（x2）（x3）（x4） 【变式】计算【答案】原式1(1)1(1)类型三：条件分式求值的常用技巧6（1）参数法已知，求的值思路点拨: 当已知条件为形如的连比等式，所要求值的分式是一个含有而又不易化简的分式时，通常设，将其变形为,然后再代入分式求值解析：设，则，代入总结升华：引入一个设而不求的未知数会引出意想不到的效果（2）整体代入法已知，求的值.思路点拨：本题是上面例子的变式，我们可把条件变换成适合所求分式中的代数式的形式，如把去分母化为的形式代入原式, 这样就达到了整体代入，化简求值的效果解析：已知，所以而原式， （3）倒数法在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法已知 ，求的值解析： （4）主元法当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值已知 ，求的值解析：由上述两个方程易得代入分式化简得.类型四：分式方程的解法解分式方程的基本思想是去分母，将分式方程转化为整式方程，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母方法，关键是确定最简公分母。7解方程解析：方程两边同乘以，得检验： 当时，最简公分母0，不是原方程的解.原方程无解8，解析：方程两边同乘以，得检验：当时，最简公分母，是原方程的解举一反三：【变式1】解方程解析：，方程两边同乘以，得：检验：当时，最简公分母0，不是原方程的解原方程无解【变式2】已知分式方程的解为非负数，求a的取值范围?解析：方程两边同时乘以得 由题意得，且，且类型五：分式（方程）的应用9某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务求原计划每小时修路的长度思路点拨：设原计划每小时修路x m，则实际每小时修路m，因此原计划需要小时完成任务，实际只用小时即可，利用实际比原计划提前8小时完成任务列方程。解析：设原计划每小时修路x m，则根据题意可得，解得，经检验，x50是原方程的解答：原计划每小时修路50米总结升华：解分式方程时要抓住“审、设、列、解、验、答”六个步骤，同时还需验根。举一反三：【变式1】某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ 若工期要求不超过 15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由思路点拨：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所需时间分别为天，天，天，可列出分式方程组解析：设甲队单独做需天完成，乙队单独做需天完成，丙队单独做需天完成，依题意，得 ，得 ，得，即z 30， ，得，即x 10， ，得，即y 15经检验， x 10，y 15，z 30是原方程组的解设甲队做一天厂家需付 元，乙队做一天厂家需付元，丙队做一天厂家需付元，根据题意，得 经检验，是原方程组的解由可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队此工程由甲队单独完成需花钱 元；此工程由乙队单独完成需花钱 元。所以，由甲队单独完成此工程花钱最少。答：甲队单独做需10天完成，乙队单独做需15天完成，丙队单独做需30天完成；由甲队单独完成此工程花钱最少。总结升华：在求解时，把，分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解.【变式2】 A、B两地路程为150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A地，求甲车原来的速度和乙车的速度解析：设甲车原来的速度为x千米/时，乙车的速度为y千米/时，据题意得：解得 经检验 为方程组的解，并且符合题意答：甲车原来的速度为45千米/时，乙车的速度为30千米/时.学习成果测评基础达标一、填空题1（2011浙江舟山）当_时，分式有意义2. （2011福建福州）化简的结果是_.3若分式的值为零，则x的值等于_4如果3 是分式方程 的增根，则a_.5一汽车在a小时内走x千米，用同样的速度，b分钟可以走_千米二、选择题6. （2011山东威海）计算：的结果是（ ）（A）（B） （C） （D）7下列关于x的方程，其中不是分式方程的是（）（A） （B） （C） （D）8一件工程甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数 是（）（A）ab （B） （C） （D）9解关于x的方程（m21）xm2m2 (m21) 的解应表示为（）（A）x （B）x（C）x（D）以上答案都不对三、解方程10（1） （2） ；（3）； （4） （5）四、化简求值11.（2011四川重庆）先化简，再求值：，其中x满足。五、列方程解应用题12某文具厂加工一种学生画图工具2500套，在加工了1000套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的1.5倍，结果提前5天完成任务，求该文具厂原来每天加工多少套这种学生画图工具13甲、乙两种食品都含糖，它们的含糖量之比为23，其他原料含量之比为12，重量之比为4077，求甲、乙两种食品含糖量的百分比分别是多少答案与解析基础达标一、填空题1 (提示:分式有意义的条件）；2m （提示:分式的化简）；3-1（提示:分母不能为0）；43（提示:产生增根的原因是分母为0）；5（提示:分式的应用）二、选择题6. B（提示: 分式的化简）；7B（提示: 分式方程的定义）；8D（提示:分式的应用）；9B（提示:因式分解、约分）三、解下列方程10（1）； （2）； 解：， 解：， ， ， 2x-5=3(2x-1) 2x-5=6x-3， x=- ， 经检验，-是原方程的根 经检验，2是原方程的增根（3）； 解：去分母，得 ， ， 整理方程，得 ， ， 经检验，2是原方程的根（4）解：整理方程，得， 去分母，得， 经检验， 是原方程的根（5）解：方程的两边同乘以，得，解得，检验：当时，所以是原方程的根四、化简求值11. 原式 因为x满足，所以，所以原式1五、列方程解应用题12解：设该文具厂原来每天加工x套画图工具，依题意得 -=5解方程得 x=100经检验 x=100是原方程的根答：该文具厂原来每天加工100套画图工具13解：设甲种食品含糖量为2x克，其他原料y克；则乙种食品含糖量为3x克，其他原料2y克据题意，得： ，解得 y， 则甲、乙两种食品含糖量的百分比分别为甲种： 15%；乙种： 15%能力提升一、判断下列各分式中x取什么值时，分式的值为0？x取什么值时，分式无意义1（1）； （2）； （3）二、化简2（1）； （2）； （3）； （4）； （5）.三、列方程解应用题3车间有甲、乙两个小组，甲组的工作率比乙组的高25%，因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加工1800个零件所用的时间还少30分钟，问两组每小时各加工多少零件？4甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？答案与解析能力提升一、判断下列各分式中x取什么值时，分式的值为0？x取什么值时，分式无意义1（1）x2使分子为0，但不使分母为0，所以当x2时分式的值为0；当x3或 x1 时，使分母为0，分式无意义； （2）x2使分子为0，但不使分母为0，所以当x2时分式的值为0；又由于x取任意值时分式的分母都不为0，所以x取任意值时分式都有意义； （3）x1使分子为0，但不使分母为0，所以当x1时分式的值为0；应当注意，不仅应使 x2 不为0，而且应使 不为0，所以应有x2且x.二、化简2（1）； 解：； （2）；解： 2； （3）；解： ； （4）；解： ； （5）.解： 三、列方程解应用题3解：设乙组的工作率为每小时x个，则甲组的工作率为每小时（25%）x个， 依题意，有 解得x400 经检验，x400是原方程的解 答：甲组每小时各加工500个，乙组每小时各加工400个4解：设甲施工队单独完成此项工程需x天， 则乙施工队单独完成此项工程需x天， 根据题意，得 解这个方程，得x25 经检验，x25是所列方程的根 当x25时，x20 答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天 综合探究一、选择题 （可多选）1已知x+=4，则点（x+，x-）在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2某地要修筑一水坝，需要在规定日期内完成，如果由甲队去做，恰好如期完成；如果由乙队去做， 则需要超过规定日期三天，现由甲、乙两队合做2天后，余下的工作由乙队独做，恰好在规定日期 内完成，求规定日期x，下列所列方程中正确的是（ ）A+=1 B=C（+）2+（x-2）=1 D+=1二、解答题3化简与求值:（1）先化简再求值：（1+），其中a=5-，b=-3+（2）已知2+=22，3+=32，4+=42，若10+=102（a，b为正整数）， 求分式的值4解关于x方程:（1）2ax(3a4)4x3a6； （2）m2 (xn)n2 (xm) (m2n2)；（3）5先仔细看（1）题，再解答（2）题（1）a为何值时，方程=2+会产生增根？解：方程两边同时乘以（x-3），得x=2（x-3）+a，因为x=3是原方程的增根，但却是方程的根，所以将x=3代入得：3=2（3-3）+a，所以a=3（2）当m为何值时，方程-=会产生增根？6某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5m3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5m3，则超过部分每立方米收取较高的定额费用2月份，小王家用水量是小李家用水量的，小王家当月水费是17.5元，小李家当月水费是27.5元，求超过5m3的部分每立方米收费多少元？答案与解析综合探究1A、D 提示：（x-）2=（x+）2-4x=42-8=8，x-=22A、B、C 3（1），1； （2）由题意，得a=10，b=102-1=99，原式=4（1）2ax(3a4)4x3a6； 解：整理，得2ax4x3a63a4，(2a4)x6a2，(a2)x3a1，当a2时，方程的根为，当a2时，3a10,所以原方程无解； （2）m2 (xn)n2 (xm) (m2n2)；解：整理，得m2 xm2 nn2 xn2m，移项，得（m2n2 )xm2 nn2m，因为m2n2 ，所以，则方程的根为x； （3）解：去分母，得，因为所以方程的根是x5（2）m=16设超过5m3