五年级奥数春季班第10讲-比例法解行程

第十讲 比例法解行程模块一、比例的简单运用例1A、B两地相距300千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发。（1）甲车的速度是30千米/时，乙车的速度是20千米/时，相遇时距A地 千米；（2）甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是40千米/时，相遇时距A地 千米；（3）甲车的速度是40千米/时，乙车的速度是20千米/时，各自走完全程，两车行驶的时间之比是 ；（4）如果两地距离未知，甲车的速度是50千米/时，乙车的速度是30千米/时，相遇时，甲车走了全程的 ，各自走完全程，两车行驶的时间之比是 。解：（1）V甲 : V乙=30 : 20=3 : 2，所以S甲 : S乙=3 : 2， 300=180（千米）；（2）V甲 : V乙=60 : 40=3 : 2，所以S甲 : S乙=3 : 2， 300=180（千米）；（3）V甲 : V乙=40 : 20=2 : 1，所以t甲 : t乙=1 : 2，（4）V甲 : V乙=50 : 30=5 : 3，所以S甲 : S乙=5 : 3，t甲 : t乙=3 : 5， 相遇时，甲走了全程的，各自走完全程，两车行驶的时间之比是3 : 5.例2（1）甲、乙两人的速度比是4 : 5，两人同时出发，行走的时间比为3 : 7，则甲、乙走的路程比为 ；（2）甲、乙两人要走的路程比为3 : 2，甲、乙的速度比是4 : 3，则甲、乙的时间比是 ；（3）甲、乙两人的路程比为7 : 8，两人用的时间比为6 : 5，甲的速度为70千米/时，则乙的速度为 。解：（1）已知V甲 : V乙=4 : 5，t甲 : t乙=3 : 7，所以S甲 : S乙=12 : 35；（2）S甲 : S乙=3 : 2，V甲 : V乙=4 : 3，所以t甲 : t乙=9 : 8；（3）S甲 : S乙=7 : 8，t甲 : t乙=6 : 5，所以V甲 : V乙=35 : 48；于是70 : V乙=35 : 48，V乙=96千米/小时。模块二、行程的正比例模型行程的正比例模型是指时间一定，路程和速度成正比。在没有发生变速的情况下，路程比等于速度比。如果两人同时从同地出发，速度比为 1 : n，则路程比也为1 : n，相遇时，两人各自走了，。例3甲、乙两人同时从A地出发前往B地，甲骑车的速度是15米/秒，乙步行的速度是5米/秒，如果甲到达B地后立即返回，请问两人在 相遇。解：设A、B两地的距离为S，V甲 : V乙=15 : 5=3 : 1，则相遇时甲走了，乙走了，所以在中点相遇。例4甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，两班的步行速度相等都是4千米/小时，学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米。这辆汽车恰好能坐下一个班的学生，为了使两班学生在最短时间内到达公园，设两地相距150千米，那么各个班的步行距离是 千米。解：两个班步行的距离相同，乘车所走的距离也相同，车速 : 步行速度=48 : 4=12 : 1，汽车开到C点时，将甲班学生放下，甲班从C走到B点；汽车从C点返回接乙班的学生，在D点接上，然后开往B点。AD=BC，CD+DC+CB是汽车后半程的路程，BC是甲班学生的路程，它们的比是12 : 1，设CB为1份，则2倍的CD是11份，CD是5.5份，AD也是1份，所以AD=BC=150=20（千米）。例5早上8 : 00，菲菲从家步行去上学，3分钟后，狗狗出发跑去追她，在离家200米的地方追上了她；追上后立刻往家跑去，到家后又立刻回去追菲菲，在离家400米的地方再次追上了她，追上后又立刻往家跑，到家后又立刻去追菲菲，刚好在学校追上，请问：（1）狗狗的速度是菲菲的 倍；（2）菲菲家到学校的距离为 米；（3）菲菲到校的时间是8点 分。解：（1）看第二段，小狗从200米处回家再到达400米处，跑了600米，菲菲走了200米，所以狗狗的速度是菲菲速度的3倍；（2）看第三段，设从800处到学校的距离为x米，狗狗跑了800+x米，菲菲走了x米，所以800+x=3x，解得x=400米，所以菲菲家到学校的距离是400+400=800米；（3）再看第一段，菲菲走了200米，用的时间是y分钟，狗狗也跑了200米，用的时间是(y3)分钟，距离相同，速度比是1 : 3，所用时间的比是3 : 1，时间差为2份，2份为3分钟，所以菲菲在前200米用的时间是4.5分钟，于是菲菲800米用的时间是4.54=18分钟，菲菲到学校的时间是8点18分。模块3、行程的反比模型行程的反比模型是指在路程一定时，速度与时间成反比。在速度不同或速度发生变化时，速度的比等于实际的反比。题目中通常会出现 如果已知的两个量在同一个圆中，我们可以通过差倍问题的方法，求出速度或时间； 如果已知的两个量不在同一个圆中，我们可以通过转换速度与时间的比，变成类型；特别注意：比可以相互转换，而差不能。例6一辆汽车从A地去B地。（1）若速度提高了20%后，每小时快了20千米，3小时到达B地，则A、B两地的距离是 千米；（2）若速度提高了25%后，提前30分钟到达，则到达B地所需的时间是 小时；（3）若速度降低了15千米后，时间增加了，则原来的速度是 千米/时；（4）若速度提高了20%，提前1小时到达，如果原速行驶100千米后再将车速提高30%，也是提前1小时到达，则A、B两地距离是 千米。解：（1）速度比V1 : V2=5 : 6，一份是20千米/小时，所以V1=100千米/小时，V2=120千米/小时， 3小时到达，所以A、B两地相距1203=360千米；（2）V1 : V2=4 : 5，所以时间比是t1 : t2=5 : 4，时间差是30分钟，1份是30分钟，4份是120分钟；（3）时间增加了，即时间比是6 : 7，所以速度比是7 : 6，1份是15千米/小时， 所以原来的速度是715=105千米/小时；（4）速度提高了20%，则V1 : V2=5 : 6，时间比是6 : 5，一份是1小时，原速度行驶，需要6小时；第二次速度提高30%，速度比是V1 : V3=10 : 13， ，距离是S=6V1，所以，解得V1=60，所以A、B两地的距离是606=360（千米）。解2：速度提高了20%，则V1 : V2=5 : 6，时间比是6 : 5，一份是1小时，原速度行驶，需要6小时；第二次速度提高30%，速度比是V1 : V3=10 : 13，后一段路程中所用的时间比是13 : 10，这时3份为1小时，所以13份为小时，即用原速走这一段路用时为小时，而用原速走一共需要6小时，于是走前一段路100千米需要用6=小时，于是原速为100=60（千米/小时），AB之间的距离为660=360（千米）。随 堂 测 试1A、B两地距离270千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发。（1）甲车的速度是50千米/时，乙车的速度是40千米/时，相遇时距A地 千米；（2）甲车的速度是63千米/时，乙车的速度是42千米/时，相遇时距A地 千米；解：（1）V甲 : V乙=50 : 40=5 : 4，相遇时距离A地 270=150（千米）；（2）V甲 : V乙=63 : 42=3 : 2，相遇时距离A地 270=162（千米）；2（1）甲、乙两人同时出发，速度比为2 : 3，行走的时间比为3 : 5，则甲、乙走的路程比为 ；（2）甲、乙两人要走的路程比是5 : 4，甲、乙的速度比是3 : 2，则甲、乙的时间比为 。解：（1）速度比为2 : 3，行走的时间比为3 : 5，则甲、乙走的路程比为6 : 15=2 : 5；（2）路程比是5 : 4，速度比是3 : 2，则甲、乙的时间比为=5 : 6.3甲、乙两车同时从A地出发前往B地，两车的速度比为5 : 1，如果甲到达B地后立刻返回，则两车在 相遇。解：V甲 : V乙=5 : 1，相遇地点在离A点 AB处。4李经理的司机每天早上7点30分到达李经理家接他去公司。有一天李经理7点从家里出发去公司，路上遇到从公司按时来接他的车，再乘车去公司，结果比平常早到5分钟，则李经理乘车的速度是步行速度的 倍。解：李经理提前了30分钟出发，遇到汽车时，前段距离汽车单程需要走52=2.5（分钟），即正常情况下汽车用2.5分钟到李经理家，再用2.5分钟回到此地，所以李经理早出来走的距离相当于给汽车省了5分钟，也就是李经理步行这段路用了302.5=27.5分钟，所以李经理乘车的速度是步行速度的 27.52.5=11（倍）。5一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达。如果以原速行驶160千米后，再将速度提高25%，则可以提前40分钟到达。那么甲、乙两地相距 千米。解：车速提高20%，则V1 : V2=5 : 6，时间比是6 : 5，一份是1小时，原速度行驶，需要6小时；速度提高25%，则V1 : V3=4 : 5，距离是S=6V1，所以，解得V1=60，所以A、B两地的距离是60