五数上册思维体操

二、多边形面积的计算【思维训练】例1.如图，长方形长是18厘米，宽是8厘米，求阴影部分的面积。思路点拨此题关键之处是两个阴影三角形的底合起来正好是长方形的长，而三角形的高与长方形的宽相等，因此阴影部分的面积就等于长方形的长乘以宽的一半，也就是长方形面积的一半。我们不妨设定两个三角形的底分别为x、y，高为长方形的宽b，用求两个三角形面积之和的方法来求证以上的分析是否成立。以此类推，不管有多少个这样的阴影三角形只要它们下面的底连接在一起，合起来的和正好是长方形的长，最上面的角的顶点都在长方形的另一个长上，所有三角形的高都等于长方形的宽。那么阴影部分的面积之和一定是长方形面积的一半。还可以把右边的阴影三角形进行转换和左边的阴影三角形拼成一个大三角形帮助学生理解。(如上图)解法：试一试请仔细观察下面四个图形，并回答问题。已知四个长方形的面积完全相等。图A图B图C图D上面各图中，阴影面积(之和)等于其空白面积(之和)的图形有_个，它们分别是图_!例2.如右图所示，在边长为6厘米的正方形内有一个三角形BEF，线段AE=3厘米，DF=2厘米，求三角形BEF的面积。思路点拨已知正方形的边长为6厘米，可求出这个正方形的面积66=36(平方厘米)。因为已经知道三角形AEB、三角形BFC、三角形DEF的高和底，所以可直接求出它们的面积，再用正方形的面积减去这三块的面积，剩下的就是三角形BEF的面积了。解法：试一试求右图阴影部分的面积。(单位：厘米)想想做做1.如右图所示，梯形中阴影部分的面积是150平方厘米，求梯形的面积。(单位：厘米)2.如右图所示，A、B是平行四边形相邻两边的中点，求阴影部分的面积。(单位：厘米) 例3.如右图所示，求四边形ABCD的面积。(单位：厘米)思路点拨四边形ABCD不能直接算出它的面积，只能间接算出它的面积。用总面积减去部分面积，条件不足，只能将四边形ABCD分成两个三角形。怎样分呢?连接线段BD，光知道三角形的底，但高不知道；只能连接线段AC，这样三角形ADC和三角形ABC的底和高都知道了，问题就迎刃而解了。解法：试一试如右图所示，平行四边形ABCD被CE分成两部分，它们的面积差是18平方厘米，问AE是多少厘米?例4.把三角形的边延长4厘米后，面积增加了14平方厘米。求原来三角形的面积。思路点拨要求原来三角形的面积，只知道底，不知道高。分析条件得知，把三角形的边延长4厘米后，面积增加14平方厘米，14平方厘米就是新增加的三角形的面积，根据14平方厘米和4厘米可以求出新增加三角形的高，也就是原来三角形的高。这样，原来三角形的面积就可以求出了。解法：试一试一个直角梯形的下底为10厘米。如果把它的上底延长4厘米，原来的直角梯形就变成了正方形。原来的直角梯形的面积是多少平方厘米?想想做做1.如右图所示，阴影部分的面积比空白的直角三角形的面积大40平方厘米，求空白三角形的面积。(单位：厘米)2.如右图所示，D是AC的中点，BC边上有三等分点，已知阴影部分的面积为20平方厘米，求三角形ABC的面积。例5.如右图所示，三角形ABC的面积为75平方厘米，那么阴影部分的面积是多少?思路点拨阴影部分是个三角形，光知道底是6厘米，高无法得知，所以无法直接求出。看看给我们的条件，AC边上有6厘米和6厘米，说明AC边上有两个等底等高的三角形，它们两个面积相等。BC边上有10厘米和5厘米，说明三角形ABD的面积是三角形ACD面积的2倍。三角形ABC的面积是75平方厘米，被平均分成三份，三角形ACD的面积是其中的一份，算式为753=25平方厘米，阴影部分的面积为25平方厘米的一半。解法：试一试如右图所示，两条对角线把梯形分成四个三角形，已知两个三角形的面积，求梯形的面积。(单位：平方厘米)例6.如图所示，正方形ABCD的边长是8厘米，其中甲的面积比乙小6平方厘米，求CE的长。思路点拨要求CE的长，条件很不充分，不能直接求。甲的面积比乙小6平方厘米这个条件也比较孤立。怎么办?不妨将甲的面积加上梯形ABCF的面积，合起来就是正方形ABCD的面积；乙的面积也加上梯形ABCF的面积，合起来就是三角形ABE的面积。这样正方形ABCD的面积仍然比三角形ABE的面积少6平方厘米。根据正方形ABCD的面积推算出三角形ABE面积，再算出三角形ABE中BE的长，最后算出CE的长。解法：试一试如右图所示，已知甲比乙的面积大3平方厘米，求AB的长。想想做做四边形ABCD被两条对角线分成四个三角形，其中三个的面积如右图所示(单位：平方厘米)，求四边形ABCD的面积。练习二1.等腰梯形的周长是48厘米，面积是96平方厘米，高是8厘米，则腰长是多少?2.正方形一条对角形长10厘米，则正方形的面积是多少?3.上底是10厘米，下底是25厘米的梯形，如果下底减少8厘米。上底不变。面积就减少84平方厘米，原梯形面积是多少平方厘米?4.如右图所示，求图中阴影部分的面积。(单位：厘米)5.如右图所示，在三角移ABC中，BD=DE=EC，BF=FA，三角形EDF的面积等于1平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少?6.如右图所示，长方形里有四个三角形，已知其中三个三角形的面积(单位：平方厘米)，求三角形ADE的面积。 7.如右图所示，长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分的面积是多少?8.用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形(见下图)，长方形纸片面积分别44cm2与28cm2,原正方形纸片面积是多少平方厘米?三、认识小数【思维训练】例1.把6.84，6.839，6.79，6.845，6.8399从大到小排列，并用“”连接。思路点拨小数的大小比较，必须从高位到低位进行，先比较整数部分，整数部分相同，再比较小数部分，在比较时同位上的数依次比较，如果比较高的数位上的数字大，这个小数就比较大。通常可以采用“竖列法”比较，把小数点对齐，依次比较，标出序号。解：因为6.84 (2) 所以6.8456.846.83996.8396.796.839 (4)6.79 (5)6.845 (1)6.8399 (3)试一试把7.O7，7，7.707，7.007，7.708，7.8从大到小排列，并用“”连接。例2.有五张卡片分别写上0,0、2、4和小数点，用其中的几张卡片按要求摆出小数。(1)整数部分是0的三位小数；(2)只读一个“零”的两位小数；(3)一个“零”也不读的一位小数。思路点拨这题是按要求写出小数：整数部分是0的三位小数，它的小数部分只能用0、2、4这三个数字；只读一个“零”的两位小数，题中说明用其中的几张卡片，并没有规定全部用完，因此可摆出不同的小数；一个“零”也不读的一位小数则可用不同的卡片，摆出多个符合条件的小数。摆时注意按一定的顺序，这样可以做到不重复不遗漏。(1)整数部分是0的三位小数：0.024、0.042、0.204、0.240、0.402、0.420；(2)只读一个“零”的两位小数：O.24、0.42、20.04、20.40、40.02、40.20；(3)一个“零”也不读的一位小数：2.4、4.2、20.4、4012、200.4、400.2。试一试有五张卡片分别写上0.0、4、8和小数点，用其中的几张卡片按要求摆出小数。(1)整数部分是0的三位小数；(2)只读一个“零”的两位小数；(3)一个“零”也不读的一位小数。想想做做1.把0.09、0.091、0.909、O.0901按从大到小排列，并用“”连接。2.用数字1、2、3和小数点，能组成多少个不同的两位小数?把它们一一写下来，并把它们按从大到小的顺序排列。例3.一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是5.00，这个三位小数最大是多少?最小是多少?思路点拨用“四舍五入”法求近似值，其中“五入”法后的结果会比原数大，“四舍”法后的结果会比原数小，根据这个知识可判断原来这个三位小数最大应该是四舍后得到的，原数要比5.O0大，精确到百分位，只能看千分位，最大只能是5.004；最小应该是五入后得到的，要比5.O0小，只能是四点几，精确到百分位，只能看千分位，最小只能是4.995。答：最大是5.004，最小是4.995。试一试一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是2.50，这个三位小数最大是多少?最小是多少?例4.小华在读一个小数时，把小数点读丢了，结果读成四万五千零一，原来的小数只读一个零，原来的小数是( )。思路点拨因为把小数点读丢了，所以读成整数45001，如果加上小数点，原来的数可能是4500.1，450.O1，45.001，4.5001这几个小数，但题目又说原来的小数只读一个零，所以符合条件的小数是450.O1。试一试小强在读数时看漏了小数点，读成三千零八。原数的计数单位是0.01，原数是( )。例5.数列123.45、123.54、124.35、124.53、542.13、542.31、543.12、543.21，自左向右第70个数是多少?思路点拨题中各个数都是由1、2、3、4、5和小数点组成的由小到大排列而成的，用1做高位组成的两位小数有4321=24(个)，那么用2、3、4、5、做最高位组成的两位小数都是24个，最高位是1、2、3组成的两位小数共有72个，第70个就是第72个中从小到大排列的倒数第三个，就是123.45、352.41、354.12、354.21，所以第70个数是352，41。试一试 用1、2、3、4、5五个数字组成五位数，把这些五位数按从小到大的顺序排列，第98个数是多少?想想做做1.找出规律在括号里填上合适的数。0.5、1.5、4.5、( )、( )、( )。2.一个三位小数，用“四舍五入”法精确到十分位是8.5，这个三位小数最大是多少?最小是多少?练习三1.一个数由1个亿，9个千万，6个百万和40个百组成，这个数写作( ),将这个数改写成用“亿”作单位的数是( ),精确到0.01是( )亿。2.下面的小数在哪两个整数之间。( )1.9( ) ( )99.033.47( )； O.5420.53( )5.用1、2、3、4和小数点可以摆出不同的小数，在这些小数中最大的是( ),最小的是( )。6.有一个三位小数，如果将它保留两位小数取近似数是6.84，这个三位小数最大是( )，最小是( )。另有一个整数保留整万是6万，这个数最大是( ),最小是( )。7.用0、1、2、3四个数字组成的四位数中，从小到大排列起来，第15个数是( )。8.一串数按下面的规律排列。1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、5、6、7从第一个起，前100个数的和是多少？9.已知A+DB+C，A+Bk余数则为a+b-k。例如：16除以7，余数是2；22除以7，余数是1。那么，(16+22)除以7，余数是2+1=3。二、减法性质。若数A、数8被数K除，余数分别为a和b(以上各数均为整数，KO)，那么，A减去8的差被K除，余数也为a减去b的差(若ab，余数则为a+k-b)。 例如：135除以13余数是5；40除以13余数是1。那么，(135-40)除以13，余数是5-1=4。又如：233除以11余数是2；61除以11余数是6。那么，(233-61)除以11，余数是2+11-6=7。三、乘法性质。若数A除以数K，余a(A、K和a都是整数，K0)，那么，A的n倍除以数K，余数则为na除以K所得的余数；若数A和数8被数K除，分别余a、b(以上各数均为整数，k0)，那么，A、B的乘积除以K，余数为abk的余数。例如：15除以13的余数是2。那么157的积除以13的余数是2713。余1。又如：140除以17。余数是4；90除以17，余数是5。那么14090的积除以17的余数为4517，余数是3。六、解决问题的策略【思维训练】例1.一个长方形的面积是72平方厘米，且长和宽都是整厘米数，当长和宽分别是多少时它的周长最长?当长和宽分别是多少时，它的周长最短?思路点拨根据题意我们可以运用列表的方法来进行列举。面积(cm2)727272727272宽(cm)12346( )长(cm)72( )24( )129从表中可以发现，当长( )cm，宽为( )cm时，这个长方形的周长最长；当长为( )cm，宽为( )cm时，这个长方形的周长最短。试一试1.一个长方形周长50cm，且长和宽都是整数，当长和宽分别是多少厘米时它的面积最大?当长和宽分别是多少厘米时它的面积最小?2.有a、b两个非零自然数，且a+b=82，那么ab的积最大是多少?最小是多少?例2.求两个多位数99999999的积的各位数字的和是多少?72个“9” 72个“9”思路点拨这个问题与上一单元讲过的类似例题是有区别的，我们可以从下面列举的算式中找出规律。99=81积的各位数字的和是：8+1=9 19=99999=9801积的各位数字的和是： 9+8+1=18 29=18999999=积的各位数字的和是：9+9+8+1=27 39=2799999999积的各位数字的和是：729=648。试一试1.a、b、c三个不同的自然数，且a+b+c=15。那么abc的积最大是多少?2.有1克、5克、10克砝码各一个。选择其中一个或几个，能组合成多少种不同的质量?例3.用淘汰制比赛，从100名跳绳选手中产生一名冠军。应进行多少场比赛?思路点拨在弄清“淘汰制比赛”的意思后，我们可以这样想：先把100人平均分成50组，进行50场比赛，淘汰50人，再把剩下的50人平均分成25组，进行25场比赛，淘汰25人，把剩下的25人其中的24人，平均分为12组，余下的一人留以后出现单数再加入分组比赛这样做比较麻烦。其实，只要反过来想一想，“产生一名冠军”的反面是“淘汰99名选手”，因为每淘汰一名选手要比赛一场，所以要淘汰99名选手，共应比赛99场。试一试1.桌子上放着六只杯口朝下的杯子，每次翻动五只，至少经过几次后，将桌面上的六只杯子的杯口全部朝上?(写出思考的过程)2.甲乙丙三个小朋友一起买8个面包，平均分着吃。甲付5个面包的钱，乙付3个面包的钱，丙没带钱。吃完后一算，丙应该拿出4元钱。甲应该收回多少钱?例4.在1至100的自然数中，不能被9整除的自然数的和是多少?思路点拨由于所有不能被9整除的自然数排列起来没有什么规律，求它们的和也没有什么相应的简便方法。但是当我们反过来想：在1至100的自然数中能被9整除的数的和是否有规律呢?显然可以用简便方法算出来，从而算出1至100的自然数中不能被9整除的数的和。1+2+3+99+100=50509+18+27+90+99=9 (1+2+3+10+11)=966=5945050-594=4456答：在1至100的自然数中，不能被9整除的自然数的和是4456。试一试1.一个书架分上、中、下三层，一共放书384本，如果从上层取出与中层同样多的本数放人中层，再从中层取出与下层同样多的本数放入下层，最后又从下层取出与现在上层同样多的本数放入上层，这时三层书的本数相同，求这个书架上原来上、中、下各放几本书?2.有一个正方体，每个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6。有三个小朋友从不同的角度观察得到如图。这个正方体中与“1”、“2”、“3”相对的面上是什么数字?练习六一、填空。1.甲、乙、丙、丁四个球队进行比赛，需要( )场才能赛出冠军。2.一把钥匙开一把锁，10把钥匙开10把锁，最多要试开( )次，就可以使10把钥匙配10把锁。3.4个小朋友互通电话，一共需要打( )次。如果他们互寄贺卡，一共寄( )次。4.甲城到乙城之间共有6个站点，往返于这两城市间需要准备( ）种不同的车票。5.王老师带25个小朋友去划船，每条大船能坐6人，每条小船能坐4人，一共有( )种不同的坐船方案。二、解决问题。1.小明有2元和5元的人民币若干张，他要拿出70元，有多少种不同的拿法?2.张老师把18本书分给4个小朋友，每个小朋友的本书都不同，其中分得最多的一位小朋友至少有多少本?最多有多少本?3.在一条笔直的公路上，每隔10千米建有一个粮站。一号粮站存有10吨粮食，2号粮站存有20吨粮食，3号粮站存有30吨粮食，4号粮站是空的，5号粮站存有40吨粮食。现在要把全部粮食集中放在一个粮站里，如果每吨1千米的运费是0.5元，那么粮食集中到第几号粮站所用的运费最少(见下图)?4.甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。问小强赛了几盘?5.有一位老师，他的年龄乘2，减16后，再除以2加上8，结果恰好是38，这位老师今年几岁?6.小虎做一道减法题目时，把被减数十位上的6错写成了9，减数个位上的9错写成了6，最后所得的数差是577，这题的正确答案应该是多少?7.某人去储蓄所取款，第一次取了存款的一半还多5元，第二次取了余下的一半还少10元，第三次取了存款15元，这时还剩125元，他原来有多少元存款?8.小明有一些铅笔，小方送给了他10枝，他又送给小莉10枝，最后小明剩下8只铅笔。原来小明有几枝铅笔?9.如图，从甲地到达乙地(只能往北、东走)一共有多少种不同的走法?10.用1、O、3、5这四个数可以组成多少个不同的四位数?七、小数乘除法【思维训练】例1.一种花布每米9.8元，丽丽的妈妈要买0.7米作一条裙子，她应付多少元?张华的妈妈需1.5米做衣服，应付多少元?思路点拨由“单价数量=总价”的关系式，我们可以列算式为：9.80.7与9.81.5；其中9.80.7可以估计101=10，丽丽的妈妈应付的钱比10元少。而9.8 1.5则可以估计为10 1.8=15，则应付的钱是15元左右；或者102=20，应付的钱比20元少。计算小数乘小数时，先把小数看作整数，按照整数乘法的法则算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。注意：在所得积里点上小数点后，才可将末位的0划去。试着算一算：答：丽丽的妈妈要付6.86元。张华的妈妈要付_元。试一试1.两个因数的积是3.4，如果一个因数扩大10倍，另一个因数不变，那么积是( )；如果一个因数扩大100倍，另一个扩大10倍，那么积是( )。想想做做1.3.61.78的积有( )位小数；0.321.69的积有( )位小数。2.先估计得数，再用竖式计算。3.451.2 0.188.451.861.7例2.一个长方形的长是0.32米，宽是0.21米，那么长方形的面积是多少平方米?思路点拨根据长方形的面积公式：长宽=面积，我们可以先列式为：0.320.21，再按照小数乘小数的计算法则进行计算。注意：在积里点小数点时，位数不够的，要在前面用0补足。你能行!答：长方形的面积是_平方米。试一试1.直接写得数。2.60.2=0.040.04=0.040.5=0.0120.5=0.170.03=0.120.4=2.先说出下面各题的积里有几位小数，再用竖式计算。0.673.50.761.020.130.48想想做做1.一条公路，已经修了6.8千米，未修的是已修的3.4倍。这条公路全长多少千米?例3.一种喜之郎果冻每千克13.6元，妈妈在超市称了2.32千克这样的果冻，她应付多少元?思路点拨由“单价数量=总价”的关系式，我们可以列式13.62.32。计算出得数是31.552元。由于人民币流通的最小单位是分，所以在实际生活中，我们付款时通常用“四舍五入”的方法保留两位小数，计算到分。“四舍五入”是指：需保留的数位后一位数大于或者等于5时向前进一，小于5时舍去。注意：在实际应用中，小数乘法，乘得的积有时用“四舍五入”法取近似值，有时需要根据实际情况取近似值。你能行!答：她应付_元。试一试1.用竖式计算下面各题，并且保留一位小数。5.33.11.627.83.242.72.菜市场的青菜每千克3.42元，妈妈买1.6千克青菜要付多少元?例4.用简便方法计算：(1)0.25 4.284 (2)0.65201思路点拨因为整数乘法的运算律对小数乘法也适用，所以第(1)题既可以运用用乘法交换律把4.28与4的位置交换，然后按运算顺序计算；也可以先交换0.25与4.28的位置，再应用乘法结合律进行简便计算。第(2)题可以把201拆成200+1后，再应用乘法分配律进行简便计算。(1)方法一：0.25 4.284 方法二：0.254.284=0.2544.28 =4.280.254=14.28 =4.28 (0.254)=4.28 =4.281=4.28(2)0.65201=0.65(200+1)=0.652130+0.651=130+0.65=130.65试一试用简便方法计算下面各题。0.2516.243.61023.723.5+0.62835想想做做1.简便计算。36.8-3.9-6.128.6101-28.610.40.35+9.60.352.铺铁路用的钢轨，每根长12.5米，每米重44千克，800根这样的钢重多少千克?合多少吨?例5.在( )里填上适当的数，使等式成立。3.722.4=( )240.360.9=( )97.56O.18=( )180.1960.056=( )56思路点拨要使等式成立，就要使等号左右两边的商相等，从每题等号左右两边的除数变化可知，把被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数(0除外)，商不变。因此，只要先看出等号右边的除数扩大多少倍，然后把原被除数也扩大多少倍后填入右边的括号里就可以。试一试用竖式计算下边各题。(除不尽的保留两位小数)3.420.367.313想想做做1.已知甲、乙两数的和16.5，如果甲数的小数点向右移动一位就和乙数相等，甲、乙两数分别是多少？2.把一桶5升的油分装在几个相同的小瓶内，如果每瓶装1.3升，需要几个小瓶?3.每套校服用布2.2米，60米布能做几套校服?练习七一、填空。1.一个正方形的周长是3.6米，这个正方形的面积是( )。2.一个四位小数，四舍五入后是5.90，这个四位小数最大可能是( )，最小可能是( )。 3.把一个小数的小数点向左移动两位后比原来小12.375，原数是( )。4.两个数相除的商是7.2，如果把被除数扩大10倍，除数不变，商是( )，如果被除数、除数同时扩大5倍，则商是( )，如果被除数缩小10倍，除数扩大6倍，则商是( )。5.如果A=0.0036，B=0.0015，42个“0” 42个“0”那么A+B=( )，A-B=( )，A B=( )，AB=( )。二、下面各題能簡算的要简算。5.32+7.93+4.682.5 0.39 0.432.1-8.3-1.75.59912.39-(5.18+2.39)4.6 99+4.612.5 8.83.65+6.40.21.25 320.251.25(80+4)2.57.682.50.40.9+0.99+0.999+0.99991.1+1.2+1.3+2.9三、解决问题。1.修路队修了一条路，已修了12.5千米，比剩下的一半多0.5千米，这条路全长是多少千米?2.张叔叔上班时步行，回家时乘车，在路上一共用了1.5小时。如果上、下班都乘车，全程只需要O.5小时；如果上、下班都步行，全程要用多少小时?3.自来水公司规定，用户每月用水量10吨以内(含10吨)，每吨1.5元，超过10吨的，超过部分每吨3.2元，小明家9月份交水费31元。算一算。小明家9月份用水多少吨?4.李阿姨与张阿姨出同样多的钱去买苹果，结果李阿姨比张阿姨多拿了5千克苹果，如果每千克苹果2.4元，那么李阿姨应当再给张阿姨多少元?5.一个物体从高空落下，经过10秒落地，已知第一秒下落的距离是3.2米，以后每一秒下落的距离都比前一秒多9.8米，这个物体下落前距离地面多少米?八、公顷和平方千米【思维训练】例1.一个占地1公顷的正方形苗圃，边长增加100米，苗圃的面积增加多少公顷?思路点拨先画出示意图来分析一下。从题意中可知，占地1公顷的正方形边长为100米。由右图可知，边长增加了100米，面积变成了原正方形的4倍。解：14-1=3(公顷)答：苗圃的面积增加了3公顷。还可以先算出现在的苗圃面积，再求出增加的面积。解：100100=10000(平方米)=1(公顷)(100+100)(100+100)=40000(平方米)=4(公顷)4-1=3(公顷)答：苗圃的面积增加了3公顷。试一试一块长300米，宽200米的长方形稻田，相邻两边各增加100米后，面积增加了多少公顷?例2.如右图，一块梯形稻田，已测出阴影部分的面积是6公顷。这块梯形稻田的面积是多少公顷?思路点拨先根据三角形面积算出三角形(也就是梯形)的高，再算出梯形的面积。