初中数学竞赛中的“轴对称”

初中数学竞赛中的“轴对称”陆 腾 宇（江苏省常熟市昆承中学，）许多数学问题所涉及的对象具有对称性，轴对称是常见的形式之一我们利用轴对称的性质，在探求几何最值、解决生活实际问题等方面有着奇妙的作用1 利用轴对称计算角的度数例1 如图，在中，为形内一点，使得,求的度数（2005，北京市中学生数学竞赛（初二）解 由，得，作于D，延长CM交BD于点O，连结OA易知BD是的对称轴所以，所以又,所以又，所以故由于，从而因此，例2 如图，在中，是BC边上的一点，试求的度数解 作关于AD的轴对称图形，则，所以易知故，连结CE，因为，所以设O为AE与DC的交点，则因为，于是又，则所以，2 利用轴对称求线段的长度、证明线段相等例3 如图，在矩形ABCD中，已知对角线长为2，且，则四边形EFGH的周长为（ ）A B4 C D6 （2010，四川省初中数学联赛（初二）解 如图，根据轴对称的性质，的斜边是四边形EFGH的周长而直角边分别是矩形边长的两倍，又矩形对角线与矩形两边构成直角三角形，因此四边形EFGH的周长是矩形对角线长的2倍例4 如图，在的边AB、AC上分别取点Q、P，使得求证：证明：因为则作点P关于BC的对称点，连结、于是，所以B、C、Q四点共圆于是，则故（夹在平行弦间）因此，3 利用轴对称求图形的面积例4 如图，在中，I是、的平分线AD与BE的交点已知的面积为12则四边形ABDE的面积等于 （2004，北京市中学生数学竞赛（初二）解 分别作点E、D关于AD、BE的对称点F、G，则点F、G在AB上，连结IF、IG易知由轴对称的性质知，所以作于H，于K易证所以故，即因此例5 在四边形ABCD中，求四边形ABCD的面积解 如图，有，于是有故，在Rt中，在中，所以因此，4 利用轴对称探求几何最值 例6 如图，P为角内一点，两边上各有点Q、R（均不同于O），则的周长的最小值为 （2001年第12届“五羊杯”邀请赛试题）解 分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连结MN交OA、OB于Q、R，则PQR即为符合条件的三角形如图，由轴对称的性质知，而，所以ABC的周长例7 河岸同侧的两个居民小区A、B到河岸的距离分别为m、m（即图1中所示m，m），m现欲在河岸边建一个长度为s m的绿化带CD（宽度不计），使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小（1）在图2中画出绿化带的位置，并写出画图过程；（2）求的最小值 （2006，第20届江苏省初中数学竞赛）解 （1）如图3，作线段，使，且点P在点A的右侧取点P关于的对称点，连结交于点D，在上点D的左侧截取，则CD即为所求的绿化带的位置证明 如图3，设绿化带建于另一位置连结、则由对称性知， 由CD及AP，知，但，即就是 （当且仅当在线段与的交点时等号成立）所以，这样画出的最小（2）的最小值即为线段的长度延长，作于H，则BH，所以即的最小值为练 习 题1（1）已知A、B两点在直线MN的同侧，在MN上求一点P，使PA与PB的和最小；（2）若A、B两点在直线MN的两侧，在MN上求一点，使、中较长一条与较短一条的差最大提示：作法（1）如图1，作点A关于MN的对称点，连结，交MN于点P，则点P即为所求。（2）如图2，作点B关于MN的对称点，连结并延长，交MN于点，则即为所求2如图，矩形中，cm，cm ，若在、上各取一点M、N，使的值最小，求这个最小值（1998，北京市初中数学竞赛）解：如图，作点B关于直线AC的对称点，交AC于E，过作于N交AC 于点M，则M、N即为所求的点 由，得所以易证所以于是 故的最小值为16cm3在中，O为形内一点，求的度数提示： 作于H，因为，所以平分，即延长交AH于P，则连结，由对称性知，所以因此，在和中，所以故因为，所以4在中，D是边BC上一点，求证：（2008，我爱数学初中夏令营数学竞赛）提示：如图，延长BC到E，使由题设知，则，即是等腰三角形过点A作于点M，则M为边BE的中点取BD的中点F，则连结AF在Rt中，5 在矩形ABCD中，E、F分别是AB、DC上的点则折线AFEC长的最小值为 （2009，全国初中数学联赛四川省初赛）提示：如图，分别作点A、C关于DC、AB的对称点、连结分别交AB、DC于点、，连结、过作延长线的垂线，垂足为又，则由勾股定理知故当点E、F分别与、重合时，取到最小值6在直角坐标系中，已知两点A（，3）、B(，5)以及动点C(0，n)、D(m，0)，则当四边形ABCD的周长最小时，比值为（ ）A B C D（2004，第19届江苏省初中数学竞赛（初三）提示：如图，设点A关于轴的对称点为，点B关于轴的对称点为，则，所以，当点C、D均在直线上时，四边形ABCD的周长最小，即为设直线的方程为，因为、在直线上，故有，解得即的方程为从而知点，D(，0)，即，所以故选C在中，形内的点P满足，证明：AP是的三等分线（1994，中国香港数学奥林匹克）解：如图，以边BC的中垂线为轴，作的轴对称，连结AD、CD、PD易知四边形ABCD为等腰梯形，则A、B、C、D四点共圆因为，所以在上述圆中，可得