材料力学应力分析

应力状态,应力状态分析,应力状态,1概述,应力状态,单元体,一点应力状态的描述,1概述,dx、dy、dz（微小的正六面体）单元体某斜截面上的应力就代表了构件内对应点同方位截面上的应力。,过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。,应力状态,1概述,B、C单向受力，0,A纯剪切，0,D既有，又有,应力状态,示例一,1概述,应力状态,1,同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式。,1概述,应力状态,示例二：,横截面,1概述,应力状态,横截面,2,3,1概述,应力状态,1概述,应力状态,主应力：主平面上的正应力,主平面：单元体上切应力为零的平面,通过任意的受力构件中任意一点，总可以找到三个相互垂直的主平面，因此每一点都有三个主应力，以1，2和3表示，且,s1s2s3,1概述,应力状态,1概述,应力状态,三个主应力1，2和3全部不为零的应力状态称为三向（空间）应力状态。,1概述,定义：,三个主应力1，2和3中两个不为零的应力状态称为二向（平面）应力状态。,三个主应力1，2和3中一个不为零的应力状态称为单向应力状态。,应力状态,单向应力状态,纯剪应力状态,1概述,应力状态,2平面应力状态分析,应力状态,解析法,应力状态,方向角与应力分量的正负号约定,单元体的局部平衡,平面应力状态中任意方向面上的正应力与切应力,2平面应力状态分析,应力状态,1、正应力正负号约定,2平面应力状态分析,应力状态,使单元体或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。,切应力正负号约定,2平面应力状态分析,应力状态,由x正向逆时针转到n正向者为正；反之为负。,2平面应力状态分析,应力状态,平衡对象用ef斜截面截取的单元体局部,2、利用截面法及单元体局部的平衡方程,dAsin,2平面应力状态分析,应力状态,参加平衡的量应力乘以其作用的面积,2平面应力状态分析,应力状态,2平面应力状态分析,应力状态,dA,2平面应力状态分析,应力状态,解得：,用斜截面截取，此截面上的应力为,2平面应力状态分析,应力状态,因此,即单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数。,即又一次证明了切应力的互等定理。,2平面应力状态分析,应力状态,切应力xy0的方向面，称为主平面，其方向角用0表示。,、平面应力状态的极值与主应力,2平面应力状态分析,应力状态,将上式对求一次导数，并令其等于零，有,由此解出的角度,角度与0具有完全一致的形式。这表明，主应力具有极值的性质，即当坐标系绕z轴(垂直于xy坐标面)旋转时，主应力为所有坐标系中正应力的极值。,2平面应力状态分析,应力状态,平面应力状态的三个主应力,2平面应力状态分析,应力状态,以后将按三个主应力代数值由大到小顺序排列，并分别用,表示，即,2平面应力状态分析,应力状态,由此得出另一特征角，用1表示,对求一次导数，并令其等于零，得到,与正应力相类似，不同方向面上的切应力亦随着坐标的旋转而变化，因而剪应力亦可能存在极值为求此极值，将,面内最大切应力,2平面应力状态分析,应力状态,得到xy的极值,需要特别指出的是，上述切应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大切应力与面内最小切应力。二者不一定是过一点的所有方向面中切应力的最大和最小值。,面内最大切应力,2平面应力状态分析,应力状态,为确定过一点的所有方向面上的最大切应力，可以将平面应力状态视为有三个主应力（1、2、3）作用的应力状态的特殊情形，即三个主应力中有一个等于零。,考察单元体三对面上分别作用着三个主应力（1230）的应力状态。,过一点所有方向面中的最大切应力,2平面应力状态分析,应力状态,考察单元体三对面上分别作用着三个主应力（1230）的应力状态。,过一点所有方向面中的最大切应力,2平面应力状态分析,应力状态,x=3,y=2，xy0,这就是组方向面内的最大切应力。,在平行于主应力1方向的任意方向面上，正应力和切应力都与1无关。因此，当研究平行于1的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：,2平面应力状态分析,应力状态,在平行于主应力2方向的任意方向面上，正应力和切应力都与2无关。因此，当研究平行于2的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：,x=1,y=3，xy0。,这就是组方向面内的最大切应力。,2平面应力状态分析,应力状态,x=1,y=2，xy0。,在平行于主应力3方向的任意方向面上，正应力和切应力都与3无关。因此，当研究平行于3的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：,这就是组方向面内的最大切应力。,2平面应力状态分析,应力状态,一点应力状态中的最大切应力，必然是上述三者中最大的，即,过一点所有方向面中的最大剪应力,2平面应力状态分析,应力状态,图解法,应力状态,1、应力圆方程,(1),(2),2平面应力状态分析,应力状态,应力圆,应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向上的正应力和切应力,2平面应力状态分析,应力状态,在t-s坐标系中，标定与单元体A、D面上应力对应的点a和d,A,D,2.应力圆的画法,2平面应力状态分析,应力状态,2平面应力状态分析,2平面应力状态分析,应力状态,3、几种对应关系,应力状态,点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向上的正应力和切应力,2平面应力状态分析,应力状态,转向对应应力圆上的半径旋转方向与单元体上方向面法线旋转方向一致；,C,二倍角对应应力圆上的半径转过的圆心角是单元体上方向面旋转角度的两倍。,(sx,txy),o,2qp,2平面应力状态分析,应力状态,4、应力圆的应用信息源,思维分析的工具，而不是计算工具。,2平面应力状态分析,点面对应，转向相同，夹角两倍。,应力状态,主应力的确定,2平面应力状态分析,应力状态,主应力排序：s1s2s3,2平面应力状态分析,应力状态,s1,s2,s1,(sx,txy),主方向的确定,负号表示从主应力的正方向到x轴的正方向为顺时转向,2平面应力状态分析,应力状态,主应力与主方向的对应关系,小（主应力中小的）偏小（x和y中小的）、大（主应力中大的）偏大（x和y中大的），夹角不比450大。,假设xy，则max与x的夹角小于450。,2平面应力状态分析,应力状态,d,a,c,5、基本变形的应力状态,单向拉伸,2平面应力状态分析,应力状态,单向拉伸,2平面应力状态分析,应力状态,可见：,45方向面既有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。,2平面应力状态分析,应力状态,B,E,纯剪切,2平面应力状态分析,应力状态,纯剪切,2平面应力状态分析,应力状态,结果表明：,45方向面只有正应力没有切应力，而且正应力为最大值。,2平面应力状态分析,应力状态,A,D,2平面应力状态分析,应力状态,（1）斜面上的应力,（一）、解析法,2平面应力状态分析,解：,应力状态,（2）主应力、主平面,2平面应力状态分析,应力状态,主平面的方位：,哪个主应力对应于哪一个主方向，可以采用以下方法：,2平面应力状态分析,应力状态,主应力的方向：,主应力的方向：,+,+,2平面应力状态分析,应力状态,（二）、图解法,f,解：,2平面应力状态分析,应力状态,主应力单元体：,2平面应力状态分析,应力状态,已知:三向应力状态如图所示，图中应力的单位为MPa。,例2-2,试求：主应力及单元体内的最大切应力。,2平面应力状态分析,应力状态,故单元体上平行于的方向面上的应力值与无关。因此，当确定这一组方向面上的应力，以及这一组方向面中的主应力和时，可以将所给的应力状态视为平面应力状态。,解：所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即,2平面应力状态分析,应力状态,本例中x=20MPa，xy=40MPa。据此，求得,2平面应力状态分析,应力状态,根据123的排列顺序，可以写出,单元体内的最大切应力,2平面应力状态分析,应力状态,重要应用实例,承受内压薄壁容器任意点的应力状态,（壁厚为，内直径为D，30）的应力状态。,3空间应力状态概念,应力状态,由s2、s3可作出应力圆I,三向应力状态的应力圆,3空间应力状态概念,应力状态,由s1、s3可作出应力圆II,I,3空间应力状态概念,应力状态,II,I,由s1、s2可作出应力圆III,3空间应力状态概念,应力状态,s1,II,I,s3,III,s2,单元体任意方向面上的应力对应着三个应力圆之间某一点的坐标。,3空间应力状态概念,应力状态,s1,II,I,s3,III,s2,最大切应力tmax,3空间应力状态概念,tmax,应力状态,3空间应力状态概念,例3-1：求图示应力状态的主应力和最大切应力。（应力单位为MPa）。,应力状态,3空间应力状态概念,解：,应力状态,3空间应力状态概念,例3-2试根据图a所示单元体各面上的应力作出应力圆，并求出主应力和最大切应力的值及它们的作用面方位。,(a),应力状态,3空间应力状态概念,解:1.图a所示单元体上正应力z=20MPa的作用面(z截面)上无切应力，因而该正应力为主应力。,2.与主平面z截面垂直的各截面上的应力与主应力z无关，故可画出显示与z截面垂直各截面上应力随截面方位角变化的应力圆。,(a),应力状态,3空间应力状态概念,从圆上得出两个主应力46MPa和-26MPa。这样就得到了包括z=20MPa在内的三个主应力。他们按代数值大小排序为146MPa，220MPa，3-26MPa。,(b),(a),3.依据三个主应力值作出的三个应力圆如图b所示。,应力状态,3空间应力状态概念,2a034可知为a017且由x截面逆时针转动，如图c中所示。,(c),(b),应力状态,例3-3,tmax,求：平面应力状态的主应力1、2、3和最大切应力tmax。,3空间应力状态概念,应力状态,例3-4,求：平面应力状态的主应力1、2、3和最大切应力tmax。,3空间应力状态概念,应力状态,例3-5,求：平面应力状态的主应力1、2、3和最大切应力tmax。,3空间应力状态概念,应力状态,4应力应变间关系,应力状态,1、横向变形与泊松比,泊松比,广义胡克定律,4应力应变间关系,应力状态,2、三向应力状态的广义胡克定律叠加法,+,+,4应力应变间关系,应力状态,4应力应变间关系,应力状态,4应力应变间关系,应力状态,4应力应变间关系,应力状态,分析：,1、,即,2、当时，即为二向应力状态：,3、当时，即为单向应力状态；,即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向。,4应力应变间关系,应力状态,4、若单元体上作用的不是主应力，而是一般的应力时，则单元体不仅有线变形，而且有切变形。其应力-应变关系为：,4应力应变间关系,应力状态,3、三个弹性常数之间的关系,这表明，对于各向同性材料，三个弹性常数中，只有两个是独立的。,4应力应变间关系,应力状态,例4-1：已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了测定拉力F和力矩m，可沿轴向及与轴向成45方向测出线应变。现测得轴向应变，45方向的应变为。若轴的直径D=100mm,弹性模量E=200GPa,泊松比=0.3。试求F和m的值。,4应力应变间关系,应力状态,解：,（1）K点处的应力状态分析,在K点取出单元体：,K,其横截面上的应力分量为：,（2）计算外力F,由广义胡克定律：,4应力应变间关系,应力状态,解得：,（3）计算外力偶m,已知,式中,4应力应变间关系,应力状态,由,解得：,因此,4应力应变间关系,应力状态,4应力应变间关系,例4-2:已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为124010-6，316010-6。构件材料为Q235钢，弹性模量E=210GPa，泊松比0.3。试求该点处的主应力数值，并求该点处另一主应变2的数值和方向。,解：由题意可知，点处于平面应力状态且,由广义胡克定律,应力状态,4应力应变间关系,可得：,是缩短的主应变。其方向沿构件表面的法线方向。,应力状态,4应力应变间关系,例4-3:边长为0.1m的铜方块，无间隙地放入变形可略去不计地刚性凹槽中。已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比0.34。当铜块受到F=300kN的均布压力作用时，试求铜块的三个主应力的大小。,解：铜块横截面上的压应力为,应力状态,4应力应变间关系,由题意：,按主应力的代数值顺序排列，得该铜块的主应力为：,应力状态,变形前单元体体积：,变形后单元体体积：,0,体积应变,4应力应变间关系,应力状态,单位体积变形：,（体积应变）,利用广义胡克定律：,式中：,（体积弹性模量）,（平均正应力）,（体积应变胡克定律）,4应力应变间关系,应力状态,讨论：,1、单位体积变形只与三个主应力之和有关，与主应力的大小比例无关。,2、因为，因此与取轴方向无关，且三个相互垂直面上的正应变之和不变。,例如纯剪切应力状态：,3、若或，则，即体积不变。但因此仅当时，,4应力应变间关系,应力状态,结论：,纯剪切应力状态，具有体积不变性。说明体积改变与切应力无关，但形状有改变，即形状改变与切应力有关。,4应力应变间关系,应力状态,5应变能密度,应力状态,1、单元体应变能,dy,dx,dz,力的作用点所产生的位移,5应变能密度,应力状态,U=dW=,力在位移上所做的功转变为单元体的