角平分线性质的应用

经典例题透析类型一：角平分线性质的应用 1、如图，ABC中，C=90，AD平分BAC，点D在BC上，且BC=24，CD:DB=3:5求：D到AB的距离。思路点拨:点到直线的距离是经过该点作直线的垂线，该点与垂足之间线段的长度。解析：过D作DEAB于E。 AD平分BAC，DEAB，DCAC DE=CD BC=24，CD:DB=3:5 CD=24=9DE 即点D到AB的距离是9。总结升华：角平分线上的点到角两边的距离相等。举一反三：【变式】如图，ACB=90,BD平分ABC交AC于D，DEAB于E，ED的延长线交BC的延长线于F. 求证：AE=CF【答案】BD平分ABC，DEAB,DCBFDE=DC在ADE和FCD中ADEFCD(ASA)AE=CF类型二：角平分线的判定2、已知，如图，CEAB,BDAC,B=C，BF=CF。求证：AF为BAC的平分线。思路点拨：由已知条件与待求证的结论，应想到角平分线的判定定理。解析：CEAB,BDAC（已知） CDF=BEF=90 DFC=BFE(对顶角相等) BF=CF(已知) DFCEFB(AAS) DF=EF(全等三角形对应边相等) FEAB,FDAC（已知） 点F在BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上) 即AF为BAC的平分线总结升华：应用角平分线定理及逆定理时不要遗漏了“垂直”的条件。如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性。举一反三：【变式】如图，已知AB=AC,AD=AE,DB与CE相交于O(1) 若DBAC,CEAB,D,E为垂足，试判断点O的位置及OE与OD的大小关系，并证明你的结论。(2) 若D，E不是垂足，是否有同样的结论？并证明你的结论。【答案】（1）AB=AC,AD=AE BE=CD DBAC,CEAB, BEO=CDO=90 在BEO和CDO中 BEOCDO EO=DO EOAB,DOAC 点O在A的平分线上（2）点D,E不是垂足时，（1）的结论仍然成立，连接AO 在ABD和ACE中 ABDACE B=C AB=AC,AD=AE EB=CD 在BEO和CDO中 BEOCDO EO=DO 连接AO，则： 在AEO和ADO中 AEOADO EAO=DAO O点在A的角平分线上类型三、角平分线的综合应用3、已知：BE是ABC的平分线，ADBE求证：BAD=DAC+C思路点拨:证明一个角等于另外两个角的和的问题，一般有两种途径：1.将两个角转化为一个角，再证等角。2.在和角中做一个角，使它与这两个角中的一个相等，再证余下的部分等于另一个角。解析： 过C作CFBE，交BE的延长线于F ADBE，CFBE AD/CF DAC=FCA 即FCB=ACB+DAC 在RtBCF中 FCB=90-EBC 在RtABD中 BAD=90-ABE BE平分ABC ABE=EBC FCB=BAD=DAC+C总结升华：添加辅助线时，要能充分利用已知条件。举一反三：【变式】在四边形ABCD中，BCBA，ADCD，BD平分ABC。求证：【答案】过作AB、BC所在直