解三角形单元教学设计

解三角形单元教学设计甘肃省民勤县第四中学 白茂军 【数学分析】解三角形一章是在初中“解直角三角形”和前面的“向量”相关内容基础上构建起来的，定理本身的应用十分广泛。解三角形是三角函数知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是将生产、生活实际问题转化为解三角形计算问题的重要工具，具有广泛的应用价值。解三角形问题和大量需要用解三角形为工具的实际问题的存在，以及数学本身和实际问题都在促使正弦定理，余弦定理的产生。在实际工作中经常遇到很多测量问题，如：在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离；测量底部不可到达的建筑物的高度；在水平飞行中的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度；测量海上航行的轮船航速和航向等。本章知识的介绍将很好的解决这些问题，从而提高学生解决实际问题的能力。【教育分析】解三角形一章的教育价值主要体现在：1.正弦、余弦定理的证明，培养了学生实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力，进一步拓展学生的数学活动空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识，激发学生的学习兴趣。2.体现数学与经济、生活等现实世界的联系，培养和发展学生利用解三角形的知识解决身边实际问题的能力。在解三角形的应用中，关键是把实际问题转化成数学问题，这种转化对于实际问题的解决是非常重要的，通过本章知识的学习，将进一步提高学生的数学建模能力。3.有利于关注数学知识的来龙去脉，解三角形问题是现实的要求，数学本身和实际问题都在促进正弦定理和余弦定理的产生，应用定理解决三角形的边角关系的度量，为学生今后实际工作储备了知识能力。【课标分析】新课程改革中，新普通高中数学课程标准（以下简称标准）对“解三角形”的教学要求是：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，标准在计算方面降低了要求，取消了“利用计算器解决解斜三角形的计算问题”的要求，而在探索推理方面提高了要求，侧重点放在学生探究和推理能力的培养上，要求“通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。标准更关注运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。【学情分析】本章内容的授课对象为高二级学生。本章之前，学生已经学习了三角函数、向量等基本知识，学生已有一定的知识储备，对观察分析、解决问题的能力有了一定的培养，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，应用数学知识的意识不强，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，因此思维灵活性受到制约，学生学习方面有一定困难。根据这些特点，我采用与新课标要求相一致的新的教学方式，即活动式的教学法和任务型教学法相结合的方法，调动全班学生的积极性，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦，在师生互动、生生互动中实现教学任务和目标。【思想与方法】1.函数与方程的思想 即：将正弦定理、余弦定理视作方程或方程组，处理已知量与未知量之间的关系。2. 从特殊到一般的化归思想 正、余弦定理的证明，从分析特殊三角形的边角关系入手，猜想这种关系也适用于一般三角形，从而发现了正、余弦定理。【教法分析】本单元的重点是综合应用正弦定理、余弦定理，难点是运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。为了突破难点，教学中采用对比研究的方法，“启发、引导、类比”相结合，让学生经历一个“实验、探索、归纳”的科学教学过程，体现从特殊到一般的认识规律，通过学生“动手、动脑、讨论、演练”，增加学生的参与机会，增强参与意识，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学主体。【教学基本流程】第一课时,精心铺垫，自然过渡，从学生熟悉的直角三角形出发，引入正弦定理，进而大胆猜想，细心求证，把它推广到任意三角形。正弦定理可以用于两类解三角形的问题，通过例1加以说明，突破本节教学重点，例2学习是培养学生公式变式应用能力，突破本节教学难点，最后通过练习加以巩固。第二课时, 从生活需要出发，提出探索性问题“如何从量化的角度研究三角形已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”。从而“设疑探究解答”， 在证明了余弦定理及其推论以后，进一步分析比较勾股定理与余弦定理的联系与区别。例1、例2学习让学生明白余弦定理及其推论应用范围，进而熟练运用定理解题，完成本节教学重点与难点，最后通过练习加以巩固。第三课时，先复习回顾解三角形中用到的边角知识，正弦定理和余弦定理内容，再进行典型例题分析，例1探讨三角形解的个数问题，例2判定三角形的形状，为了更好的掌握例题，设计了3个小练习，达到巩固的效果，最后课堂小结。第四课时，先复习回顾正弦定理和余弦定理的内容、三角形的面积公式以及在解三角形中涉及到的常用结论，比如内角和定理和诱导公式等，再进行典型例题分析，例1证明恒等式、例2三角形面积定理应用，同时每个例题后设计相应的小练习，以巩固所学知识，最后课堂小结。第五课时，通过实例，分析解决与三角形有关的实际应用问题，并由此归纳总结出从实际问题中抽象出数学问题的基本过程，“提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈训练”的教学过程。让学生对例1、例2进行分析与讨论进一步完善这一过程,突破本单元的教学难点。第六课时, 通过实例，分析解决与三角形有关的实际应用问题，并采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过2道例题的安排和2道练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。【教材分析】一、内容与教学目标本章的中心内容是解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：1.知识目标: 掌握正弦定理、余弦定理及面积公式，并能正确应用定理解三角形； 通过解三角形培养学生的方程思想、化归思想、函数思想，并培养学生解题的优化意识2.能力目标:通过对任意三角形边角关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；能应用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量与几何计算有关的实际问题3.德育目标: 培养和发展学生数学应用意识，渗透励志教育.二、教学重点、难点重点：掌握正弦定理、余弦定理及面积公式，并能正确应用定理解三角形；难点：能应用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量与几何计算有关的实际问题三、内容安排1、课时安排本章教学约需6课时，具体分配如下（仅供参考）：1.1正弦定理和余弦定理（约4课时） 1.2应用举例（约2课时）2、知识结构任意三角形的边角关系正弦定理余弦定理距离问题高度距离角度问题几何计算问题解三角形三角形面积公式：3、主要内容课题: 111正弦定理 教材分析：正弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，定理的发现与证明是以前三角函数知识与平面向量在三角形中的综合交汇，是培养学生数学思维品质的重要素材。教学目标：知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理解三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程新知探究正弦定理的证明：分析直角三角形中的正弦定理，考察结论是否适用于斜三角形，并通过向量法几何法加以证明。用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用,通过具体例题，使学生体会正弦定理可以用于两类解三角形的问题：(1)已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。（2） 已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角.例题分析例1 .在中,已知, , B=450.求A、C和c.解: 且 A有两解.由正弦定理,得 （1）当A=600时,C=1800-A-B=750, （2）当A=1200时,C=1800-A-B=150, 设计意图：例题说明应用正弦定理解三角形的方法。在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现两解的情形，通过例题分析和讨论使学生明白根据“三角形中大边对大角”来判断多解的情形。练习:（1)求B、C、b. （2) 求B、C、b.设计意图：学会应用方程思想，正确应用正弦定理及其变式解三角形例2：（1）已知ABC中，求（2）2013湖南在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinBb，求角A设计意图： 培养公式变形应用，灵活应用能力； 举一反三，寻求解题多样性，优化解题意识；练习: （1）在ABC中,已知a=2,b=2,B=45,则角A= （2）ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=3,C=3,a=2b,则b的值为.设计意图：正确应用正弦定理及其变式解三角形，突破教学难点。小结反思，提高认识1用向量证明了正弦定理，体现了数形结合的数学思想。2正弦定理表述了三角形的边与对角的正弦值的关系。3定理证明分别从直角、锐角、钝角出发，运用分类讨论的思想。布置作业：课题: 1.1.2余弦定理 教材分析：引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。” 在证明了余弦定理及其推论以后，分析比较勾股定理与余弦定理的联系与区别，指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系。教学目标:知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。教学过程:新知探究问题：根据判定三角形全等的方法，已知三角形的两条边及其所夹的角，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.如何从已知的两边和它们的夹角中计算出三角形的另一边和两个角？解这个三角形，需从量化的角度来研究。引导学生先研究如何用已知的两条边及其夹角来表示第三条边，设法找出一个用已知的两条边及其夹角来表示第三条边的一个公式的问题。涉及边长问题，考虑用向量的数量积来加以证明，利用向量的数量积就可以比较容易地证明了余弦定理。应用余弦定理，并结合正弦定理，可以解决的解三角形问题有：（1）已知两边和它们的夹角解三角形；（2）已知三角形的三边解三角形。例题分析例1在ABC中，已知，求b及A解：=cos= 求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二：sin又 ，即 评述：解法二应注意确定A的取值范围。设计意图：例题说明应用余弦定理解三角形的方法。余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量。练习：1. 在ABC中，若，求角A2. ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=3,C=3,a=2b,则b的值为.设计意图：学会应用方程思想，正确应用余弦定理及其变式解三角形。例2. 在锐角中，角A、B、C的对边分别为、，且（）确定角的大小：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若，且，求的面积设计意图： 培养公式变式应用能力，灵活应用公式是本节难点，通过练习加强； 寻求解题多样性，优化解题意识； 巩固消元思想，应用正、余弦定理实现边角统一，体现了消元思想练习：在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(3b-c)cosA=acosC,则cosA=.设计意图：学会应用方程思想，正确应用余弦定理及其变式解三角形思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？小结反思，提高认识1.余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2.余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。布置作业课题: 113运用正弦、余弦定理解三角形 （第1课时） 教材分析 本节课主要是继学习了正弦定理和余弦定理之后安排的一节小结或习题课，可为后面的实际应用举例奠定基础，本节课学习具有承上启下的桥梁作用.教学目标:知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形形状的判定方法。过程与方法：通过引导学生分析，解答两个典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。教学重点:1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；2.三角形各种形状的判定方法。教学难点:正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。教学过程复习回顾 略典型例题分析题型一 三角形解的个数探讨例1在ABC中，已知，讨论三角形解的情况分析：先由可进一步求出B；则，从而1当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。2当A为锐角时，如果，那么只有一解；如果，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若，则有两解；（2）若，则只有一解；（3）若，则无解。设计意图：正确理解正弦方程解的个数问题。理解在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。练习:（1）在ABC中，已知，试判断此三角形的解的情况。（2）在ABC中，若，则符合题意的b的值有_个。（3）在ABC中，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。题型二 利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状例2根据所给条件,判断的形状.（1）在ABC中，已知，。（2） （3）分析：由余弦定理可知设计意图： 培养公式变式应用能力，寻求解题多样性，优化解题意识； 巩固消元思想，应用正、余弦定理实现边角统一，体现了消元思想练习2(1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。(2）在ABC中，判断ABC的形状。(3）判断满足下列条件的三角形形状， sinC =(4) 在ABC中，若basin C，cacos B，则ABC的形状为_小结与反思1.三角形解的个数探讨问题；2利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状布置作业课题: 113运用正弦、余弦定理解三角形 （第2课时） 教材分析 本节课主要是对正弦定理和余弦定理的熟练运用，可为后面的实际应用举例奠定基础，本节课学习具有承上启下的桥梁作用.教学目标:知识与技能：熟练运用正、余弦定理与三角形的有关性质进行三角恒等式证明以及运用三角形面积定理解决三角形相关问题。过程与方法：通过引导学生分析，解答两个典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。情感态度与价值观：课堂中充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，通过教师导疑、导思让学生养成独立解决问题的能力，从而激发学生的探索精神。教学重点:1. 三角恒等式证明；2. 三角形面积定理的应用。教学难点:正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。教学过程复习回顾 略典型例题分析题型一 证明恒等式例1、在ABC中，求证：（1）（2）+=2（bccosA+cacosB+abcosC）分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明设计意图：1.通过恒等式证明，进一步熟悉正弦、余弦定理以及定理的变式应用。2.培养学生观察、比较、分析问题的综合能力。变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积题型二 三角形面积定理应用例2在ABC中，面积为，求的值分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理设计意图：推导三角形面积公式。例3在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.(1)求角B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面积分析：由，利用余弦定理转化为边的关系求解设计意图：熟练运用余弦定理及其推论，以及三角形的有关计算，巩固提高运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题的能力。练习：（1）在ABC中，若，且此三角形的面积，求角C（2）已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc16，则三角形的面积为 .小结与反思：1.利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用；2.证明三角恒等式；三角形各种类型的判定方法；3.三角形面积定理的应用。布置作业课题: 2.2解三角形应用举例（第1课时） 教材分析 为了突出正弦定理、余弦定理在解决一些与三角形有关的实际问题中的作用，教材设置了不同问题情境的例题.目的是为了进一步强化数学建模的思想方法，即：从实际出发，经过抽象概括，转化为具体问题中的数学模型，通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解. 教学目标:知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：巧妙设疑，顺利引导，结合学生的实际情况，采用“提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈训练”的教学过程教学，根据课标要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力教学重点:实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。教学难点:根据题意建立数学模型，画出示意图。教学过程：引言 （略）探讨一 测量距离。例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=。求A、B两点的距离(精确到0.1m)分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。设计意图：1. 测量距离等问题，存在着许多可以供选择的测量方案，可以应用全等三角形的方法，也可以应用相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法，但是由于在测量问题的实际背景下，某些方法也许不能实施，如因为没有足够的空间或不能直接到达，不能用全等三角形的方法来测量，所以采用多种解决方案，寻求方案最优化。变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？设计意图：指导学生画图，建立数学模型。例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。设计意图：通过具体例题分析是学生明白解决实际问题的一般步骤为“实际问题解三角形问题三角形问题的解实际问题的解”。 即：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解小结与反思1根据问题背景建立数学模型，解决实际问题的一般步骤。2体会数学建模的思想方法。布置作业课题: 2.2解三角形应用举例（第2课时） 教材分析 体会数学建模的思想方法，即：从实际出发，经过抽象概括，转化为具体问题中的数学模型，通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解。 教学目标：知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题和解决一些有关计算角度的实际问题。过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。课堂中要充分体现学生的主体 地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力。教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度、角度问题。教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。教学过程：引言 （略）探讨一 测量底部不可到达的建筑物高度问题例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。分析：求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。设计意图 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。练习1：如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)设计意图：利用正弦定理和余弦定理来解题时，体会数学建模的思想方法。探讨二 角度测量问题引言：在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？ 例2、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile)设计意图 在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。练习