高等函数概念

1,井冈山学院数学与应用数学系,高等数学电子教案,上课时间:周二(5、6、7）上课地点：5-408,2,一.为什么要学习高等数学？,1.它是重要的基础理论课,序,它为后续课程学习提供理论基础和研究工具。,参考高等数学应用205例李心灿编,高等教育出版社出版,数学意识、数学原理、数学方法是一切创造,发明的基础。,序,3,2.开发智力,还有训练全面考查科学系统的头脑的开发功能。,技术时，就能使科学家和工程师们生产出系统的、,能复制的、并且是可以传播的知识。,开发智力,4,数学美在于她的简洁美、对称美、和谐美、奇异美。,3.数学是一门美学,它是大脑思考所产生的思想结构上的精神美。,例如：,5,二.学什么？,1.初等数学：有限量、常量,2.高等数学：无穷量、变量,采用极限方法和思想,有限和、匀速直线运动速度等,无穷项之和,变速运动瞬时速度,任意图形的面积、体积等,学什么？,1.初等数学,2.高等数学,6,三.怎样学？,四.要求,预习听课、作笔记复习（看书、做作业）,提前做好预习,按时完成作业,遵守课堂纪律,搞好课后复习,怎样学呢？,要求,作业要求,7,函数概念函数特性及图形,第一章函数,1.1函数概念,8,一、基本概念,1.集合:,具有某种特定性质的事物的全体.,组成集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,个体,总体,9,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,10,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,符号表示“对每(任）一个”。,11,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,12,3.邻域:,13,4.常量与变量:,在某过程中始终保持一个数值的量称为常量,注意,常量与变量是相对“过程”而言的.,通常用字母a,b,c等表示常量,而不断改变数值的量称为变量.,常量与变量的表示方法：,用字母x,y,t等表示变量.,14,5.绝对值:,运算性质:,绝对值不等式:,15,二、函数概念,例圆内接正多边形的周长,16,邮件的费用依赖与邮件的重量，邮局公布的费用表可根据邮件的重量W确定邮件的费用C。,自动纪录仪画出了一天中气温随时间变化的曲线图，由图形可以找出在一天中的某个时刻t的温度值T。,真空中初速为零的自由落体，下落路程S与时间t的关系为：，设这一运动花费T秒钟，则t0,T。,17,因变量,自变量,数集X叫做这个函数的定义域,18,自变量,因变量,对应法则f,函数的两要素:,定义域与对应法则.,约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,19,定义:,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫多值函数,20,例1求y=arcsin的定义域和值域。,解：,函数的定义域为:,得定义域为x0)的定义域；(2)f(lnx)的定义域。,解:(1),则:若a1/2，定义域为空集;,若a1/2，定义域为a,1-a;,(2)0lnx1,1xe为定义域。,x应取在ax1-a,而a1-a,22,例4判断下列几对函数是否相等.,(1)f(x)=2lnx,(x)=lnx2;,(2)f(x)=x,(x)=|x|;,(3)f(x)=sin2x+cos2x,(x)=1.,解：f(x)的定义域为,，(x)的定义域为,所以它们不相等。,解：f(x)与(x)的对应规律不同，所以是不同的函数。,解：f(x)与(x)的对应规律相同，定义域也相同，所以f(x)=(x)。,23,(1)符号函数,几个特殊的函数举例,24,(2)取整函数y=xx表示不超过的最大整数,阶梯曲线,25,(3)狄利克雷函数,26,(4)取最值函数,27,28,例1,解,故,29,o,1函数的有界性:,例y=sin2x,y=cosx在（-,+)上均为有界函数,y=x,y=x2在(-,+)上无界.,三、函数的特性,30,2函数的单调性:,例：y=x,y=ex在（-,+)内单调增加。,31,3函数的奇偶性:,偶函数,32,奇函数,33,例1判断函数的奇偶性.,解：,f(x)是奇函数.,例2设f(x)在R上定义，证明f(x)可分解为一个奇函数与一个偶函数的和。,证明：设,显然g(x)是偶函数，h(x)是奇函数,而,故命题的证.,34,4函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,在(无穷)多个正周期中若存在一个最小数，此最小数称为最小正周期。,35,一个周期函数有无穷多个周期，如y=sinx，2,4均为周期。,一般函数的周期均指最小正周期，但并非所有周期函数都存在最小正周期.如:f(x)=c,例设c0,x(-,+),