张量分析第三章ppt课件

.,第三章张量代数,在第一章线性空间中对三维矢量空间V由张映射,m阶张量空间,定义了,。若o;i1,i2,i3是V中标准正交坐,标系。则的基底为,张量都可以表示为：,。Pm中的任意,在后文的书写中，矢量空间的张量积符号在不致混淆时将略去不写。如：,.,3.1张量代数运算,在1.5节中由多重线性映射给出了张量空间。且对任意同,阶张量,（1.5-10）定义零张量和加法逆元素。则同阶张量的加减,，（1.5-7）、（1.5-8）式给出了张量,（同阶）的加法运算和张量的数乘运算。若按（1.5-9）、,运算按：,（3.1-1）,定义。而数乘运算按：,（3.1-2）,定义。,按（3.1-1）和（3.1-2）式容易得出：,（3.1-3）,.,张量间的运算除加法、减法运算和数乘运算外，还可以定义乘法运算。但应当特别注意的是张量间的乘法运算有多种按不同法则定义的乘法运算。这一点在矢量乘法运算中表现为矢量与矢量的点乘和叉乘（矢量本身就是一阶张量）。因此谈到张量（不一定是同阶张量）间的乘法运算必须指明是什么法则定义的乘法运算。,张量积：设张量,；则A和B的张量积按：,（3.1-4）,定义。由定义可以看出AB和BA都是m+n阶张量。且一般,ABBA（两张量的张量积一般不满足交换律）。对任一,组给定的i1,im;j1,jn值，,都是确定的实数。,记,。则：,（3.1-4a）,.,张量间的张量积运算有如下性质：,1,（3.1-5）,2,（3.1-5a）,（证明由读者自行完成）,r点乘（积）：设,A、B张量的r点乘：,。则定义,（3.1-6）,当m=n=r时，,称为A全点乘B。且记为：,（3.1-7）,由定义（3.1-6）式可知：,.,（3.1-8）,但必须注意一般情况下：,（3.1-9）,由（3.1-4a）和（3.1-6）式给出的是任意阶张量间的张量,积和r点乘定义。而在处理实际物理和数学问题时，更常,见的是一阶和二阶张量的张量积和r点乘的情况。,设u、v是一阶张量（矢量）。A、B、C是二阶张量。则：,一阶张量与一阶张量的张量积：,（3.1-10a）,二阶张量与一阶张量的张量积：,（3.1-10b）,一阶张量与二阶张量的张量积：,（3.1-10c）,.,二阶张量与二阶张量的张量积：,（3.1-10d）,一阶张量（全）点乘：,（3.1-10e）,一阶张量与二阶张量的（一）点乘：,（3.1-10f）,二阶张量与一阶张量的（一）点乘：,（3.1-10g）,二阶张量与二阶张量的（一）点乘：,（3.1-10h）,二阶张量与二阶张量的（双）点乘：,（3.1-10i）,四阶张量与二阶张量的（双）点乘：,（3.1-10j）,.,二阶张量与四阶张量的（双）点乘：,（3.1-10k）,由（3.1-10e）、（3.1-10f）、（3.1-10g）、（3.1-10j）、（3.1-10k）定义单位矢量（一阶单位张量）、二阶单位张量和四阶单位张量。即满足：,（3.1-11）,的,分别称为一阶单位张量、二阶单位张量和四,阶单位张量。,上式定义的一阶、二阶和四阶单位张量具有性质：,1,2,（3.1-12）,且记,为,。即,。并称,为单位二阶张量。,.,3,（3.1-13）,且记,为,。即,。并称,为单位二阶,张量。,证：,1,对任意,2,设存在另一二阶张量,3,四阶单位张量唯一性证明留作练习。,，且满足,。则：,（唯一性）,.,例1：,如图31所示刚体以角速度(是对刚体整体运动的,述量。与r无关。即对刚体上的任意点而言刚体的角速,度都是)。物体点r处的密度为(r)；速度矢量为u(r),。则处微分体积dV所包含质量(r)dV对o点动量矩为：,试证明物体对o点的动量矩为：,式中,称为物体,对o点的二阶惯性矩张量（注：J,不是四阶单位张量。但J表达式中的,I是二阶单位张量）。,证：,.,例2：,如图32所示受力物体。,若物体在确定的约束条件,下处于平衡状态。试分析,r点处的应力状态。,解：,在物体r点处,用三个与,坐标面平行的平面和一个斜平面截出四面体oabc如图3-2(,b)所示。取出的四,面体与物体中剩余部分的作用通过四个,面上的作用力联系。设obc,oac,oab,abc面上的作用力的,平均分布集度为t1,t2,t3。四面体内每单位体积上受有f=fi,ii的外力。记n是abc面上的单位外法线矢量；abc的面积为,A。则三角形obc,oac,oab的面积分别为：,按2.5节三中（g）式面积矢量记法有：,.,在坐标系o;i1,i2,i3中t1,t2,t3可表示为：,由牛顿第二定律（本例中就是平衡方程）得：,式中V是四面体的体积；(r)是密度；a是加速度。当h,0时：V0;(r)V0。同时t1,t2,t3分别为过r点,的四个面上的内力分布集度（不在是A,A1,A2,A3,面上的平均内力分布集度）。并称t,t1,t2,t3是过r点的应,力矢量。且：,.,=(r)称为r点的应力张量。,对i;j的确定值，表示点r外法线方向为ii的面上沿ij,方向的应矢量的大小为ij。同时：,还表明：确定点r的三个坐标面上的各坐标方向的应力矢,量一旦给定（,给定），则过r点以单位矢量n为外法,线的斜截面上应力矢量被唯一确定。或者说应力张量完,全描述了一点应力状态。,.,3.2仿射量（二阶张量）,在3.1中的例1和例2通过转动刚体的动量矩和物体内一点的平衡讨论，给出了转动惯量二阶张量J和应力二阶张量,；在许多数学和物理问题的描述中，二阶张量被广泛的引入（如几何学中的度量二阶张量、连续介质学中的变形梯度二阶张量等）。因此二阶张量的分析具有重要的实际意义。本节及后文的章节中将重点分析二阶张量。,.,二阶张量按张量积的运算，可以看作是两个矢量uV,vV通过张量积的运算确定。即：,若o;i1,i2,i3是V的坐标系。则：,每一组Aij（九个实数）确定唯一的二阶张量。所有二阶张,量按张量的加法和数乘运算构成矢量（广义矢量）空间P2,。另一方面，对任意AP2,uV有：,显然二阶张量A对任意矢量uV。其左点乘（）和右,点乘（）分别实现一阶矢量空间V到一阶矢量空间V的,映射：,（3.2-1）,一般A的左、右点乘是不同的映射。即：,并且由（3.1-8）式可知：,.,这表明A的左、右点乘是线性映射。若定义：,（3.2-2）,则满足（3.2-2）的所有一阶矢量空间到一阶矢量空间线性,映射（左点乘或右点乘）的（3.2-3）式中A的集合构成矢,量（广义矢量）空间P2。,按张量积定义的二阶张量uv和按线性映射定义的二阶张量,A，若按点乘运算都实现将aV对应到bV。则uv和A,是同一个二阶张量的二种不同形式的表示。因为：,.,对任意给定大小和方向的矢量a。在,不同的基底上，a的坐标表示是不同,的。如图33所示。A在二维基底,o;i1,i2中表示为：,若,是另一组基底。且,在o;i1,i2中可表示为：,则a在,中的表示为：,显然在两组基底上a的坐标分别为（2，2）和,。也就是说矢量在不同基底上的线性表示是不同的。因此,对按张量积定义的二阶张量A=uv在不同的基底iiij(i,j=,1,2,3)上的线性表示也是不同的。设V有二组标准正交基底,o;i1,i2,i3和,。且：,.,（a）,二阶张量A在,形成的基底,(i,j=1,2,3),上的,表示为：,将基底变换（a）式代入得：,（3.2-3）,该式是二阶张量A在o;i1,i2,i3和,构成的基底上,性表示坐标（九维）的变换关系。（3.2-3）式也常被用来,定义二阶张量。即用两个指标的九个数Aij表示的量，当坐,标变换时服从（3.2-3）式变换，则这个量称为二阶张量。,.,例3：,设,。试用矩阵方式表示,解：,.,由该式可以看出二阶张量A可表示为：,（3.2-4）,记：,（3.2-5）,且称A是二阶张量A的矩阵表示。利用A矩阵可将,的分量表示为：,该式也称为,的矩阵表示。,.,例4：,设平面位置矢量,的点处给出了一组四个数：,证明A构成二阶（平面）张量A。,证：,解之得：,A构成二阶（平面）张量A。,.,设,。定义：,（3.2-6）,trA二阶张量A的取迹运算。,取迹运算具有如下性质：,1,（线性性质）,2,3,（3.2-7）,证：,1,2,3,证毕。,.,设AP2。若A满足：,（3.2-8）,则称A为对称二阶张量。,设AP2。若A满足：,（3.2-9）,则称A为反对称二阶张量。,若记：,（3.2-10）,且称,为A,的转置。对称和反对称二阶张量又可表示为：,(A为对称二阶张量）,(A为反对称二阶张量）,由（3.2-10）给出的转置实质上P2是P2到P2的一种运算。,即对任意AP2,.,转置运算具有性质：,1,2,3,4,证：,1,2,3,4,证毕。,.,例5：,试证明任意AP2可唯一分解为对称与反对称张量的和。,证：,对A按张量的加（减）法运算法则有：,其中,分别记为AS和AA。则：,这表明AS是对称二阶张量；AA是反对称二阶张量。即A,可表示为对称二阶张量AS和反对称二张张量AA的和。,若A还可表示为：,由,可得：,显然A的对称和反对称分解是唯一的。,.,上例中不但表明任意二阶张量可以唯一地分解为对称二阶张量和反对称二阶张量的和。而且给出了这种分解的对称和反对称表示的结果。即：,（3.2-12）,AS和AA分别为A的对称和反对称部分。,.,例6：,证明：,1,2,证：,1,当A=I时有：,2,证毕。,.,例7：,已知：,试求：,1,2,3,；,；,。,解：,1由（3.1-2.2）式得：,.,2,3,.,3.3二阶张量的逆与行列式,设AP2。若存在BP2使得：,（3.3-1）,则B称为二阶张量A的逆二阶张量，且记为A-1。,对二阶张量A，BP2。若A，B的逆存在。则：,二阶张量的逆的性质：,1,2,3,4,5,；,；,；,；,。,（3.2-2）,证：,1,（结合律3.1-9式）,（3.1-12式）,.,2,由单位二阶张量性质,得：,又由逆的定义有：,3,4,5,(a),(b),比较（a），（b）式得：,证毕。,.,设AP2;a,b,cV，且,定义：,（3.3-3）,detA称为二阶张量A的行列式。,二阶张量行列式具有性质：,1,2,3,4,5,（3.3-4）,证：,1,.,令：,。则：,2,由定义得：,3,.,4,已在2的证明中给出。,5,.,例8：,试求AP2行列式的分量表示。,解：,由（3.3-3）式定义的A的行列式表达式中，矢量a、b、c,V是任意的非共面(,)矢量。设V中标准正交基底,为i1、i2、i3。则：,.,例9：,设a、b、cV。且,。AP2。试证明：,证：,证毕。,.,例10：,试证明：,证：,V中取标准正交基底i1、i2、i3。亦将（3.3-3）式中a、b、,c分别取为i1、i2、i3。则：,证毕。,例11：,试求例6中二阶张量A的行列式值。,解：,.,设A是二阶张量。若detA0。则称A是正则二阶张量；,若detA=0。则A称为退化二阶张量。,正则二阶张量有如下性质：,1,若A为正则二阶张量。则,为正则二阶张量。,2,r1、r2、r3V线性无关矢量。则A为正则二阶张量时,线性无关。,3,若A是正则二阶张量。则A的逆存在。,证：,1,若A为正则二阶张量。则：,由（3.3-4）性质3得：,因此,是正则二阶张量。,2,a=r1、b=r2、c=r3。则：,.,又r1、r2、r3线性无关。即：,线性无关。,3,(A-1存在),这表明只有当detA0时,该式成立。即当A-1存在时,det0,。且同时detA-10时，-1是正则二阶张量。另一方面，当,detA0时，对abo的矢量a、b：,这表明A通过与矢量的点乘运算将矢量变换为另一矢量。,且其变换是一一对应的（若矢量ab则矢量,。由于正则二阶张量A是实现一一对应变换，因此其逆变,换存在。即A的逆A-1存在。,.,设Q是二阶张量。且：,（3.3-5）,则Q称为正交二阶张量。,正交二阶张量Q有如下性质：,1,2,3,（3.3-6）,证：,1,2,令1中a=b。则：,3,证毕。,.,例12,试证明正交二阶张量Q将V中的